BZOJ2597: 石头剪刀布 题解

非常难的费用流题
我有考虑过反过来想，看最少能扣掉几个环，然后用费用流做，但就是建不出模型
这题的想法实在是太巧妙了
考虑一个三元环如果被破坏，那么一定有一个点出度为2
更一般的，如果最后的图里面一个点的出度为x，那么由他形成的非三元环个数是$C_x^2$
所以我们考虑一个二分图，左边是所有的点，右边是所有的边
超级汇点向每个点连n-1条边，流量都是1，费用分别是0,1,2…n-2，我们考虑跑最小费用流的时候一定是先选0再选1再选2…这样的一个前缀和正好符合$C_x^2$的形式
然后每个点向和他有关的边连一条流量为1费用为0的边，这条边流了表示右边的那条边是由我左边的这个点作为起点的，相当于固定方向
右边的边向超级汇点连流量为1费用为0的边

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <string>
#include <cstdlib>
#include <utility>
#include <cctype>
#include <algorithm>
#include <bitset>
#include <set>
#include <map>
#include <vector>
#include <queue>
#include <deque>
#include <stack>
#include <cmath>
#define LL long long
#define LB long double
#define x first
#define y second
#define Pair pair<int,int>
#define pb push_back
#define pf push_front
#define mp make_pair
#define LOWBIT(x) x & (-x)
#define DEBUG(...) 
using namespace std;

const int MOD=1e9+7;
const LL LINF=2e16;
const int INF=2e9;
const int magic=348;
const double eps=1e-10;
const double pi=3.14159265;

inline int getint()
{
    char ch;int res;bool f;
    while (!isdigit(ch=getchar()) && ch!='-') {}
    if (ch=='-') f=false,res=0; else f=true,res=ch-'0';
    while (isdigit(ch=getchar())) res=res*10+ch-'0';
    return f?res:-res;
}

int n,t;
int a[148][148],ans[148][148];

int head[400048],nxt[800048],to[800048],f[800048],cost[800048],tot=1;
inline void addedge(int s,int t,int cap,int cc)
{
    to[++tot]=t;nxt[tot]=head[s];head[s]=tot;f[tot]=cap;cost[tot]=cc;
    to[++tot]=s;nxt[tot]=head[t];head[t]=tot;f[tot]=0;cost[tot]=-cc;
}

inline int getind(int x,int y)
{
    if (x>y) swap(x,y);
    return (x-1)*n+y;
}

inline Pair getpoint(int ind)
{
    int x1=ind/n;if (ind%n) x1++;
    int x2=ind-(x1-1)*n;
    return mp(x1,x2);
}

inline bool isedge(int ind) {return (n+1<=ind && ind<=t-1);}

bool visited[400048];int D[400048];
int mincost=0;

inline int aug(int x,int maxf)
{
    visited[x]=true;
    if (x==t) {mincost+=(-D[0]*maxf);return maxf;}
    if (!maxf) return maxf;
    int i,y,now,minf,res=0;
    for (i=head[x];i;i=nxt[i])
    {
        y=to[i];
        if (!visited[y] && f[i] && D[x]+cost[i]-D[y]==0)
        {
            minf=min(maxf-res,f[i]);
            now=aug(y,minf);
            f[i]-=now;f[i^1]+=now;res+=now;
        }
        if (res>=maxf) return res;
    }
    return res;
}

inline bool relabel()
{
    int d=INF,cur,i,y;
    for (cur=0;cur<=t;cur++)
        if (visited[cur])
            for (i=head[cur];i;i=nxt[i])
            {
                y=to[i];
                if (!visited[y] && f[i]) d=min(d,D[cur]+cost[i]-D[y]);
            }
    if (d>=INF) return false;
    for (cur=0;cur<=t;cur++) if (visited[cur]) D[cur]-=d;
    return true;
}

int main ()
{
    int i,j,cur,y;n=getint();t=n+n*(n-1)+1;
    for (i=1;i<=n;i++)
        for (j=1;j<=n;j++)
            a[i][j]=getint();
    for (i=1;i<=n;i++)
        for (j=1;j<=n-1;j++)
            addedge(0,i,1,j-1);
    for (i=1;i<=n;i++)
        for (j=1;j<=n;j++)
            if (a[i][j]>=1) addedge(i,n+getind(i,j),1,0);
    for (i=1;i<=n-1;i++)
        for (j=i+1;j<=n;j++)
            addedge(n+getind(i,j),t,1,0);
    memset(ans,0,sizeof(ans));
    do
        do
            memset(visited,false,sizeof(visited));
        while (aug(0,INF));
    while (relabel());
    printf("%d\n",n*(n-1)*(n-2)/6-mincost);
    for (cur=1;cur<=n;cur++)
        for (i=head[cur];i;i=nxt[i])
        {
            y=to[i];
            if (isedge(y) && !f[i])
            {
                Pair xx=getpoint(y-n);
                if (cur==xx.x) ans[cur][xx.y]=1; else ans[cur][xx.x]=1;
            }
        }   
    for (i=1;i<=n;i++)
    {
        for (j=1;j<=n;j++)
            printf("%d ",ans[i][j]);
        printf("\n");
    }
    return 0;
}