AEX算法数学基础

本文为CSDN博主「Yuixz」的原创文章

原文链接：https://blog.csdn.net/u012620515/article/details/49825407

在原文基础上基础上增加了一些内容

字节运算：有限域GF(2^8)上的运算有限域GF(2^8)

• 有限域GF(2^8)表示特征为2的具有2^8个元素的有限域，这里表示成系数在{0,1}中的多项式集合：

                                        b(x)={b7x^7+b6x^6+b5x^5+b4x^4+b3x^3+b2x^2+b1x+b0}

       这样任意的8位二进制数就和有限域中的一个多项式建立了一一对应的关系。

• 加法运算

        在多项式表示中，GF(2^8)上两个元素的和仍然是一个次数不超过7的多项式，其系数等于两个元素对应的系数的模2加（即异或）。
  由于每个元素的加法逆元等于自己，所以减法和加法相同。

• xtime(x)

      定义： 函数xtime(x) 定义为GF （2 ）上的x·b(x) 。其运算如下：若b 7 =0 ，则x·b(x) 的结果就是把字节b 左移一位，且在最右边补上上0 ；若b 7 =1 ，则先对b(x) 在字节内左移一位（最后一位补0 ），则再与‘1B’ （00011011 ）做逐比特异或。

      实质上就是将参数的值乘以2，b7=0,则直接左移；b7=1,结果中x⁸系数为1，则需要减去不可约多项式m(x)=x⁸+x⁴+x³+x+1。（11B）,即与1B进行异或。

• 乘法运算

      在AES算法中，若两个多项式进行乘法运算，运算的方法为两个多项式相乘，若运算的结果超过8次方，则必须对此结果对一个多项式m(x)进行模运算。AES算法       中，这个8次不可约多项式确定为m(x)=x⁸+x⁴+x³+x+1。

     乘法原理：

      在二进制中，所有的数都能用0x01,0x02,0x04,0x08,0x10,0x20,0x40,0x80异或得到。
       0x01,0x02,0x04,0x08,0x10,0x20,0x40,0x80的表示如下：00000001，00000010，00000100，00001000，00010000，0010000，01000000，10000000.

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举个栗子：

例如，‘57’·‘13’ 可按如下方式实现：
•‘57’·‘02’=xtime(57)=‘AE’ ；
•‘57’·‘04’=xtime(AE)=‘47’ ；
•‘57’·‘08’=xtime(47)=‘8E’ ；
•‘57’·‘10’=xtime(8E)=‘07’ ；
•‘57’·‘13’=‘57’·(‘01’⊕ ‘02’ ⊕‘10’)
• =‘57’⊕ ‘AE’ ⊕‘07’=‘FE’