递推 2017CCPC杭州站现场赛B题 Master of Phi 欧拉函数

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6265

2017CCPC杭州站现场赛B题

题目大意：给你一个数n的因数及其指数pi,qi,对于其所有的因数mi，求

题解：题中给了一个求欧拉函数的公式

欧拉函数的公式可以变形为下面这种形式，即把每个质因子都乘进去一个。

其中 pi 和 qi 都是 d 的质因子。

然后我们分析一下求和时的每一项

因为后面还要乘以 n/d，算一算会发现最后的结果是 在 n 中且不在 d 中的质因子的指数是 q[i] (n的质因子指数)， 在 d 中的质因子的指数是 q[i]-1，且还要乘以一个 (p[i]-1) 。

然后我们枚举所有的选取质因子的情况，会得到下面的递推式：

所以最终的结果就是这样啦！~

放上学长代码：

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <vector>
#include<ctime>
#include<cstdlib>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 220;
const int MOD = 998244353;
int n;
int p[N], q[N];
ll s1[N], s2[N];
ll quick(ll a, int b)  {
    ll ans = 1;
    while(b)  {
        if (b % 2 == 1) ans = ans * a % MOD;
        a = a * a % MOD;
        b /= 2;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    int T;
    scanf("%d", &T);
    while(T--)  {
        scanf("%d", &n);
        for(int i = 0; i < n; i++) scanf("%d%d", p + i, q + i);
        for(int i = 0; i < n; i++) s1[i] = quick(p[i], q[i] - 1), s2[i] = s1[i] * p[i] % MOD;
        for(int i = 0; i < n; i++) s1[i] = s1[i] * (p[i] - 1) % MOD;
        ll ans = 1;
        for(int i = 0; i < n; i++)  {
            ll t = s1[i] * q[i] % MOD;
            t = (t + s2[i]) % MOD;
            ans = ans * t % MOD;
        }
        printf("%lld\n", ans);
    }
    return 0;
}

放一种没有改动方程的写法，也是用的递推。 只不过在要求的式子里的n/d和欧拉函数里的d约掉了，剩下的就是（1-1/p）的累乘。同样的，枚举质因子的选举情况，然后递推即可。

通过这份代码，我学到了许多，比如

求逆元（1/p），（在mod一个质数的情况下）

对一个负数取mod。
            ans = (ans%mod + mod)%mod;

#include <cstdio>
const long long mod=998244353;
typedef long long ll;

ll p[50], q[50];
ll pow(ll x,ll n,ll mod)
{
    ll res=1;
	while(n>0)
	{
	   if(n&1)	
	   {
	   	 res=res*x;
	   	 res=res%mod;
	   }
	   x=x*x;
	   x=x%mod;
	   n>>=1;
	}
	return res;	
}
ll extgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
	if(b!=0){
		ll r=extgcd(b,a%b,y,x);
		y-=(a/b)*x;
		return r;
	}else{
		x=1,y=0;
		return a;
	}
}
ll inverse(ll a){
	ll x,y;
	extgcd(a,mod,x,y);
	return (mod+x%mod)%mod;
}
int main()
{
	int t, n;
	long long m,sum, ans;

	scanf("%d", &t);
	for (int i = 0; i < t; i++)
	{
		scanf("%d", &n);
		m = 1;
		for (int j = 0; j < n; j++)
		{
			scanf("%lld%lld", &p[j], &q[j]);
			m*=pow(p[j], q[j], mod)% mod;
			m%=mod;
		}
		sum = m;
		for (int j = 0; j < n; j++)
		{
			ans = -inverse(p[j]);
			ans = (ans%mod + mod)%mod;
			ans = 1+q[j]*(ans+1);
			ans %= mod;
			sum=sum * ans % mod;
		}
		printf("%lld\n",sum );
	}
	
	return 0;
}