Python之numpy：线性代数

1、常用numpy.linalg函数汇总：

2、numpy随机函数汇总：

3、举例分析

（1）、np.linalg.norm

linalg=linear+algebra，norm则表示范数，首先需要注意的是范数是对向量（或者矩阵）的度量，是一个标量（scalar）：

这里只对常用设置进行说明，x表示要度量的向量，ord表示范数的种类，

x = np.array([3, 4])
print(np.linalg.norm(x))  #5.0
print(np.linalg.norm(x, ord=2))  #5.0
print(np.linalg.norm(x, ord=1))  #7.0
print(np.linalg.norm(x, ord=np.inf))  #4.0

范数理论的一个小推论告诉我们：ℓ1≥ℓ2≥ℓ∞

（2）、用dot函数计算矩阵乘积

x = np.array([[1., 2., 3.], [4., 5., 6.]])
    print(x)  #[[1. 2. 3.]
              #[4. 5. 6.]]
    y = np.array([[6., 23.], [-1, 7], [8, 9]]) 
    print(y)  #[[ 6. 23.]
              #[-1.  7.]
              #[ 8.  9.]]
    print(x.dot(y))  # 相当于np.dot(x,y)
    #[[ 28.  64.]
    #[ 67. 181.]]

（3）、np.linalg.inv()：矩阵求逆

x = np.array([[1,2],[3,4]])
print(x)  #[[1 2]
          #[3 4]]
print(x.T)  #x的转置
            #[[1 3]
            #[2 4]]
print(x.T.dot(x)) #x的转置乘以x
                  #[[10 14]
                  #[14 20]]
print(np.linalg.inv(x.T.dot(x)))  #求逆
                                  #[[5. - 3.5]
                                  #[-3.5  2.5]]

（4）、求解线性方程组

# numpy.linalg中的函数solve可以求解形如 Ax = b 的线性方程组，其中 A 为矩阵，b 为一维或二维的数组，x 是未知变量

import numpy as np

#创建矩阵和数组
B = np.mat("1 -2 1;0 2 -8;-4 5 9")
b = np.array([0,8,-9])

# 调用solve函数求解线性方程
x = np.linalg.solve(B,b)
print (x)  #[ 29. 16. 3.]

# 使用dot函数检查求得的解是否正确
print (np.dot(B , x))  # [[ 0. 8. -9.]]

（5）、特征值和特征向量

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# 特征值（eigenvalue）即方程 Ax = ax 的根，是一个标量。其中，A 是一个二维矩阵，x 是一个一维向量。特征向量（eigenvector）是关于特征值的向量
# numpy.linalg模块中，eigvals函数可以计算矩阵的特征值，而eig函数可以返回一个包含特征值和对应的特征向量的元组

import numpy as np

# 创建一个矩阵
C = np.mat("3 -2;1 0")

# 调用eigvals函数求解特征值
c0 = np.linalg.eigvals(C)
print (c0)
# [ 2. 1.]

# 使用eig函数求解特征值和特征向量 (该函数将返回一个元组，按列排放着特征值和对应的特征向量，其中第一列为特征值，第二列为特征向量)
c1,c2 = np.linalg.eig(C)
print (c1)  # [ 2. 1.] 
print (c2)
        #[[ 0.89442719 0.70710678]
        # [ 0.4472136 0.70710678]]

# 使用dot函数验证求得的解是否正确
for i in range(len(c1)):
print ("left:",np.dot(C,c2[:,i]))
print ("right:",c1[i] * c2[:,i])
#left: [[ 1.78885438]
# [ 0.89442719]]
#right: [[ 1.78885438]
# [ 0.89442719]]
#left: [[ 0.70710678]
# [ 0.70710678]]
#right: [[ 0.70710678]
# [ 0.70710678]]

（6）、奇异值分解

# SVD（Singular Value Decomposition，奇异值分解）是一种因子分解运算，将一个矩阵分解为3个矩阵的乘积
# numpy.linalg模块中的svd函数可以对矩阵进行奇异值分解。该函数返回3个矩阵——U、Sigma和V，其中U和V是正交矩阵，Sigma包含输入矩阵的奇异值。

import numpy as np

# 分解矩阵
D = np.mat("4 11 14;8 7 -2")
# 使用svd函数分解矩阵
U,Sigma,V = np.linalg.svd(D,full_matrices=False)
print ("U:",U)
#U: [[-0.9486833 -0.31622777]
# [-0.31622777 0.9486833 ]]
print ("Sigma:",Sigma)
#Sigma: [ 18.97366596 9.48683298]
print ("V",V)
#V [[-0.33333333 -0.66666667 -0.66666667]
# [ 0.66666667 0.33333333 -0.66666667]]
# 结果包含等式中左右两端的两个正交矩阵U和V，以及中间的奇异值矩阵Sigma

# 使用diag函数生成完整的奇异值矩阵。将分解出的3个矩阵相乘
print (U * np.diag(Sigma) * V)
#[[ 4. 11. 14.]
# [ 8. 7. -2.]]

（7）、广义逆矩阵

# 使用numpy.linalg模块中的pinv函数进行求解,
# 注：inv函数只接受方阵作为输入矩阵，而pinv函数则没有这个限制

import numpy as np

# 创建一个矩阵
E = np.mat("4 11 14;8 7 -2")
# 使用pinv函数计算广义逆矩阵
pseudoinv = np.linalg.pinv(E)
print (pseudoinv)
#[[-0.00555556 0.07222222]
# [ 0.02222222 0.04444444]
# [ 0.05555556 -0.05555556]]

# 将原矩阵和得到的广义逆矩阵相乘
print (E * pseudoinv)
#[[ 1.00000000e+00 -5.55111512e-16]
# [ 0.00000000e+00 1.00000000e+00]]

（8）、行列式

# numpy.linalg模块中的det函数可以计算矩阵的行列式

import numpy as np

# 计算矩阵的行列式
F = np.mat("3 4;5 6")
# 使用det函数计算行列式
print (np.linalg.det(F))  # -2.0

Python之numpy：线性代数

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3、举例分析

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