hdu 6400 Parentheses Matrix

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Problem Description

A parentheses matrix is a matrix where every element is either '(' or ')'. We define the goodness of a parentheses matrix as the number of balanced rows (from left to right) and columns (from up to down). Note that:

- an empty sequence is balanced;
- if A is balanced, then (A) is also balanced;
- if A and B are balanced, then AB is also balanced.

For example, the following parentheses matrix is a 2×4 matrix with goodness 3, because the second row, the second column and the fourth column are balanced:

)()(
()()

Now, give you the width and the height of the matrix, please construct a parentheses matrix with maximum goodness.

Input

The first line of input is a single integer T (1≤T≤50), the number of test cases.

Each test case is a single line of two integers h,w (1≤h,w≤200), the height and the width of the matrix, respectively.

Output

For each test case, display h lines, denoting the parentheses matrix you construct. Each line should contain exactly w characters, and each character should be either '(' or ')'. If multiple solutions exist, you may print any of them.

Sample Input

3
1 1
2 2
2 3

Sample Output

(
()
)(
(((
)))

题意

给一个只含'('和')'的矩阵，只考虑从行和列上的括号序列，构造一个矩阵使得合法括号序列的总数最多

分析

首先奇数行或奇数列内是不存在合法括号序列的，所以如果n或m是奇数，则最多有n/m个括号序列（即把行/列直接填充为合法序列），需要分析的是偶数行和偶数列的情况。
首先贪心一下，起点位于第一行和第一列，所以应该尽量在这些位置填'('，首先想到的是把矩形的左上边界填充为'('，右下边界填充为')'
.((((.
(....)
(....)
(....)
(....)
.)))).
因为第一行，第n行，第1列，第m列一定不是序列，所以这样最多有n+m-4个合法括号序列。

但有一个情况比较特殊，当n=4的时候，上面的方法其实比较亏，以牺牲第一列和最后一列的代价，却只得到了两行合法括号序列。考虑另外一种填充方法：当n比较小的时候，把第一行全部填充为'(',最后一行全部填充为')'
((((((
......
......
))))))
这样以后发现，可以通过调整剩下的位置，让剩下一半的行数成为合法的序列，于是这样最多有(n-2)/2+m=n/2-1+m个合法括号序列
比较一下上面两种方案，假设a>b，当第一种最多a+b-4，第二种最多a+b/2-1，当他们相等时，a+b-4=a+b/2-1，解得b=6，也就是行数列数最小值小于6的时候，应该采用第二种方案能获得更多，而其他情况应该选择第一种情况

总结

一旦某一行是合法序列，那么它一定一半的位置是'('，另一半是')'，如果让合法序列出现在首行/列，末行/列，那么一半的列/行都不会是合法序列了，所以这些位置一定不要出现合法序列，那就尽量贪心，尽量填充为全'('或')'。
但是，当行/列数较小的时候，牺牲一半的行/列不一定是坏事，应该特判一下