洛谷 P4238 【模板】多项式求逆 ntt

题目描述

给定一个多项式$F(x)$，请求出一个多项式$G(x)$，满足$F(x)∗G(x)≡1(mod\ x^n )$。系数对$998244353$取模。

输入输出格式

输入格式：
首先输入一个整数$n$，表示输入多项式的次数。
接着输入$n$个整数，第$i$个整数$a_i$，代表$F(x)$次数为$i−1$的项的系数。

输出格式：
输出$n$个数字，第$i$个整数$b_i$，代表$G(x)$次数为$i−1$的项的系数。

输入输出样例

输入样例#1：
5
1 6 3 4 9
输出样例#1：
1 998244347 33 998244169 1020
说明
$1≤n≤10^5 ,0≤a_i≤10^9$

分析：
多项式求逆的模板题。之前一直不知道后面的$(mod\ x^n)$是什么意思，其实是对多项式$x^n$取模，也就是次数大于$n$的项为$0$。设$A(x)$为原多项式，$B'(x)$为在$mod\ x^{n/2}$的逆元，$B(x)$为在$mod\ x^{n}$逆元，这里是向上取整，因为这样才能使幂次达到$n$。有

$$B(x)=2B'(x)-A(x)*B^2(x)$$
后面那个是两个卷积，次数要算对，wa了好久。

代码：

// luogu-judger-enable-o2
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#define LL long long

const LL p=998244353;
const LL G=3;
const int maxn=3e5+7;

using namespace std;

LL f[maxn],g[maxn],x[maxn],y[maxn],w[maxn];
LL n,len;
LL r[maxn];

LL power(LL x,LL y)
{
    if (y==1) return x;
    LL c=power(x,y/2);
    c=(c*c)%p;
    if (y%2) c=(c*x)%p;
    return c;
}

void init(LL len)
{
    LL k=trunc(log(len+0.5)/log(2));
    for (LL i=0;i<len;i++)
    {
        r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(k-1));
    }
}

void ntt(LL *a,LL f)
{
    for (LL i=0;i<len;i++)
    {
        if (i<r[i]) swap(a[i],a[r[i]]);
    }   
    w[0]=1;
    for (LL i=2;i<=len;i*=2)
    {
        LL wn;
        if (f==1) wn=power(G,(LL)(p-1)/i);
             else wn=power(G,(LL)(p-1)-(p-1)/i);
        for (LL j=i/2;j>=0;j-=2) w[j]=w[j/2];
        for (LL j=1;j<i/2;j+=2) w[j]=(w[j-1]*wn)%p;
        for (LL j=0;j<len;j+=i)
        {
            for (LL k=0;k<i/2;k++)
            {
                LL u=a[j+k],v=(a[j+k+i/2]*w[k])%p;
                a[j+k]=(u+v)%p;
                a[j+k+i/2]=(u-v+p)%p;
            }
        }
    }
    if (f==-1)
    {
        LL inv=power(len,p-2);
        for (LL i=0;i<len;i++) a[i]=(a[i]*inv)%p;
    }
}

void NTT(LL *a,LL *b,LL *c,LL n,LL m)
{   
    len=1;
    while (len<=(n+m)) len*=2;
    init(len);
    for (int i=0;i<len;i++)
    {
        if (i<n) x[i]=a[i]; else x[i]=0;
        if (i<m) y[i]=b[i]; else y[i]=0;
    }   
    ntt(x,1); ntt(y,1);
    for (LL i=0;i<len;i++) c[i]=(2*y[i]+p-x[i]*y[i]%p*y[i]%p)%p;
    ntt(c,-1);
}

void solve(LL *a,LL *b,LL k)
{
    if (k==1)
    {       
        b[0]=power(a[0],p-2);
        return;     
    }
    LL d=(k+1)/2;
    solve(a,b,d);   
    NTT(a,b,b,n,k);
    for (int i=k;i<len;i++) b[i]=0;
}

int main()
{
    scanf("%lld",&n);
    for (LL i=0;i<n;i++)
    {
        scanf("%lld",&f[i]);
        f[i]%=p;
    }   
    solve(f,g,n);
    for (LL i=0;i<n;i++) printf("%lld ",g[i]);
}