多项式除法 & 取模
很神奇，记录一下。
只是主要部分，更详细的和其它内容看这吧。给定一个\(n\)次多项式\(A(x)\)和\(m\)次多项式\(D(x)\)，求\(deg(Q)\leq n-m\)的多项式\(Q(x)\)，满足\[A(x)=D(x)\times Q(x)+R(x)\]
其中\(R(x)\)可以看做是\(m-1\)次多项式(不足\(m-1\)次系数补\(0\))。首先是想消除\(R(x)\)的影响。
对于一个\(n\)次多项式\(A(x)\)，记\[A^R(x)=x^nA(\frac{1}{x})\]
例如\(A(x)=2x^3+4x^2-3x+1\)，那么把\(\frac{1}{x}\)代进去，再乘个\(x^n\)，可得\[A^R(x)=x^3-3x^2+4x+2\]
相当于将\(A(x)\)的系数进行了反转。现在把\(A(x)=D(x)\times Q(x)+R(x)\)的\(x\)替换成\(\frac{1}{x}\)，再乘\(x^n\)，得
\[x^nA(\frac{1}{x})=x^{m}D(\frac{1}{x})x^{n-m}Q(\frac{1}{x})+x^{n-m+1}x^{m-1}R(x)\] \[A^R(x)=D^R(x)Q^R(x)+x^{n-m+1}R^R(x)\]
要求\(Q(x)\)，反转后次数仍不超过\(n-m\)，而\(x^{n-m+1}R^R(x)\)最低项的次数\(>n-m\)。于是我们把式子放在模\(x^{n-m+1}\)意义下，\(R(x)\)就被消除了，且不影响\(Q(x)\)。而\(A(x),D(x)\)是已知的，不会有问题。
即\[A^R(x)\equiv D^R(x)\times Q^R(x)\ (mod\ x^{n-m+1})\]
对\(D^R(x)\)求逆元，乘\(A^R(x)\)后可以得到\(Q^R(x)\)，系数反转后即得\(Q(x)\)。\(A(x)-D(x)\times Q(x)\)就可以得到\(R(x)\)了。即多项式取模也可以这么做。
复杂度\(\mathcal O(n\log n)\)。
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#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define P (998244353)
#define Rt (3)
#define i_Rt (332748118)
#define Mul(a,b) (1ll*a*b%P)
#define Sub(a,b) (a<b ? a-b+P : a-b)
#define Clear() memset(A,0,sizeof A),memset(B,0,sizeof B)
//#define gc() getchar()
#define MAXIN 200000
#define gc() (SS==TT&&(TT=(SS=IN)+fread(IN,1,MAXIN,stdin),SS==TT)?EOF:*SS++)
const int N=(1<<18)+5;
int n,m,F[N],D[N],invD[N],Q[N],A[N],B[N],tmp[N],rev[N],W[N];//F = divisor * quotient + remainder
char IN[MAXIN],*SS=IN,*TT=IN;
inline int read()
{
int now=0;register char c=gc();
for(;!isdigit(c);c=gc());
for(;isdigit(c);now=now*10+c-'0',c=gc());
return now;
}
inline int FP(int x,int k)
{
int t=1;
for(; k; k>>=1, x=Mul(x,x))
if(k&1) t=Mul(x,t);
return t;
}
inline int Get_len(int x)
{
int len=1; while(len<=x) len<<=1;
return len;
}
void NTT(int *a,int len,int type)//polynomial
{
int lim=1, L=0;
while(lim<len) lim<<=1, ++L;
for(int i=1; i<lim; ++i) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<L-1);
for(int i=1; i<lim; ++i) if(i<rev[i]) std::swap(a[i],a[rev[i]]);
for(int i=2; i<=lim; i<<=1)
{
int mid=i>>1, Wn=FP(~type?Rt:i_Rt,(P-1)/i), t;//次数:(P-1)/i!
W[0]=1;
for(int j=1; j<mid; ++j) W[j]=Mul(W[j-1],Wn);
for(int j=0; j<lim; j+=i)
for(int k=0; k<mid; ++k)
a[j+k+mid]=(a[j+k]-(t=Mul(a[j+k+mid],W[k]))+P)%P,
a[j+k]=(a[j+k]+t)%P;
}
if(type==-1)
for(int i=0,inv=FP(lim,P-2); i<lim; ++i) a[i]=Mul(a[i],inv);
}
void P_Inv(int *f,int *g,int len)//len:要求逆元的长度
{
if(len==1) {g[0]=FP(f[0],P-2); return;}
P_Inv(f,g,len>>1);
for(int i=0; i<len; ++i) A[i]=f[i], B[i]=g[i];
NTT(A,len<<1,1), NTT(B,len<<1,1);
for(int i=0; i<len<<1; ++i) A[i]=Mul(A[i],Mul(B[i],B[i]));
NTT(A,len<<1,-1);
for(int i=0; i<len; ++i) g[i]=((g[i]<<1)%P-A[i]+P)%P;
}
void P_Mul(int *a,int *b,int *res,int l1,int l2)
{
int len=Get_len(l1+l2);
Clear();
for(int i=0; i<=l1; ++i) A[i]=a[i];
for(int i=0; i<=l2; ++i) B[i]=b[i];
NTT(A,len,1), NTT(B,len,1);
for(int i=0; i<len; ++i) res[i]=Mul(A[i],B[i]);
NTT(res,len,-1);
}
int main()
{
n=read(),m=read();
for(int i=0; i<=n; ++i) F[i]=read();
for(int i=0; i<=m; ++i) D[i]=read();
std::reverse(F,F+n+1), std::reverse(D,D+m+1);
P_Inv(D,invD,Get_len(n-m));
P_Mul(F,invD,Q,n-m,n-m);//次数都是n-m (mod x^{n-m+1})
std::reverse(Q,Q+n-m+1);
for(int i=0; i<=n-m; ++i) printf("%d ",Q[i]); putchar('\n');
std::reverse(F,F+n+1), std::reverse(D,D+m+1);
P_Mul(D,Q,tmp,m,n-m);
for(int i=0; i<m; ++i) printf("%d ",Sub(F[i],tmp[i]));
return 0;
}