luogu P4238 多项式求逆 (模板题、FFT)

题目链接: https://www.luogu.org/problemnew/show/P4238

题意: 给定 $n$ 次多项式 $A(x)$ , 求 $n$ 次多项式 $B(x)$ 满足 $B(x)A(x)\equiv 1(\mod x^n)$

题解:
DFT，每个数对 $998244353$ 求逆元。IDFT回来。
发现，错了。
为什么呢？
因为要对 $x^n$ 取模。
例如， $1-x$ 在模 $x^2$ 意义下的逆元是 $1+x$ , 但是在实际上逆元是 $1+x+x^2+x^3+...$ , 是无穷和式。
所以此路不通。

考虑求解多项式问题的常用方法——分治法。
设已求 $B_0(x)$ 满足 $B_0(x)A(x)\equiv 1(\mod x^n)$ , 现要求 $B(x)$ 满足 $B(x)A(x)\equiv 1(\mod x^{2n})$
显然有 $B(x)-B_0(x)\equiv 0(\mod x^n)$
为了凑出 $x^{2n}$ 两边平方得
$B^2(x)-2B_0(x)B(x)+B_0^2(x)\equiv 0(\mod x^{2n})$
如何求 $B$ 呢？因为 $A(x)B(x)\equiv 0(\mod x^{2n})$ , 我们将式子两边同乘 $A(x)$
$A(x)B(x)B(x)-2B_0(x)A(x)B(x)+A(x)B_0^2(x)\equiv 0(\mod x^{2n})$
$B(x)\equiv 2B_0(x)-A(x)B_0^2(x) (\mod x^{2n})$
右边的式子FFT计算即可。
时间复杂度？
$T(n)=T(\frac{n}{2})+O(n\log n)$
$T(n)=O(n\log n)$ .
常数？首先隐藏在递归复杂度背后有一个 $2$ 倍常数。
然后我们把两个多项式相乘需要 $3$ 次FFT, 三个就要 $6$ 次。
因此常数为 $12$ 倍。
如何优化？
$IDFT(DFT(IDFT(DFT(A)\times DFT(B_0)))\times DFT(B_0))$
变成 $IDFT(DFT(A)\times DFT^2(B_0)$
$3$ 次即可！
常数变为 $6$ 倍。
UPD: 关于这里的常数问题: 因为我递归里DFT的范围是 $2n$ ，最终的复杂度是 $T(2n) = 6(2n)\log (2n)$ , 因此我认为应为 $12$ 倍常数。
空间？空间复杂度 $O(n)$ , 但是要开 $4d$ 的数组，其中 $d$ 是 $>n$ 的最小的 $2$ 的幂。

代码
因为FFT数组清零等原因代码(对我来说)很难写。
贴一下我刚刚写的版本吧，还算是比较简单。
(话说怎么CSDN突然傲娇了啊。。缩进变成1格？？)

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define llong long long
#define ldouble long double
#define uint unsigned int
#define ullong unsigned long long
#define udouble unsigned double
#define uldouble unsigned long double
#define modinc(x) {if(x>=P) x-=P;}
#define pii pair<int,int>
#define piii pair<pair<int,int>,int>
#define piiii pair<pair<int,int>,pair<int,int> >
#define pli pair<llong,int>
#define pll pair<llong,llong>
#define Memset(a,x) {memset(a,x,sizeof(a));}
using namespace std;
const int N = 1<<19;
const int P = 998244353;
const int LGN = 19;
const int G = 3;
llong a[N+3];
llong b[N+3];
llong tmp1[N+3],tmp2[N+3],tmp3[N+3],tmp4[N+3],tmp5[N+3],tmp6[N+3];
int id[N+2];
int n;void initid(int _len)
{
 id[0] = 0;
 for(int i=1; i<(1<<_len); i++) id[i] = (id[i>>1]>>1)|((i&1)<<(_len-1));
}
llong quickpow(llong x,llong y)
{
 llong cur = x,ret = 1ll;
 for(int i=0; y; i++)
 {
  if(y&(1ll<<i))
  {
   y-=(1ll<<i); ret = ret*cur%P;
  }
  cur = cur*cur%P;
 }
 return ret;
}
llong mulinv(llong x) {return quickpow(x,P-2);}
void ntt(int dgr,int coe,llong poly[],llong ret[])
{
 int len = 0; for(int i=0; i<=LGN; i++) if((1<<i)==dgr) {len = i; break;}
 initid(len); for(int i=0; i<dgr; i++) ret[i] = 0ll;
 for(int i=0; i<dgr; i++) ret[i] = poly[i];
 for(int i=0; i<dgr; i++) if(i<id[i]) swap(ret[i],ret[id[i]]);
 for(int i=1; i<=(dgr>>1); i<<=1)
 {
  llong tmp = quickpow(G,(P-1)/(i<<1));
  if(coe==-1) tmp = mulinv(tmp);
  for(int j=0; j<dgr; j+=(i<<1))
  {
   llong expn = 1ll;
   for(int k=0; k<i; k++)
   {
    llong x = ret[j+k],y = (expn*ret[j+i+k])%P;
    ret[j+k] = x+y; modinc(ret[j+k]);
    ret[j+i+k] = x-y+P; modinc(ret[j+i+k]);
    expn = (expn*tmp)%P;
   }
  }
 }
}
void polyinv(int dgr,llong poly[],llong ret[])
{
 for(int i=0; i<dgr; i++) ret[i] = 0ll;
 ret[0] = mulinv(poly[0]);
 for(int i=1; i<=(dgr>>1); i<<=1)
 {
  for(int j=0; j<(i<<2); j++) tmp1[j] = j<i ? ret[j] : 0ll;
  for(int j=0; j<(i<<2); j++) tmp2[j] = j<(i<<1) ? poly[j] : 0ll;
  debug(tmp1,(i<<2)); debug(tmp2,(i<<2));
  ntt((i<<2),1,tmp1,tmp3); ntt((i<<2),1,tmp2,tmp4);
  for(int j=0; j<(i<<2); j++) tmp5[j] = tmp3[j]*tmp3[j]%P*tmp4[j]%P;
  ntt((i<<2),-1,tmp5,tmp6); llong tmp = mulinv(i<<2);
  for(int j=0; j<(i<<2); j++) tmp6[j] = tmp6[j]*tmp%P;
  for(int j=0; j<(i<<1); j++) ret[j] = (tmp1[j]+tmp1[j]-tmp6[j]+P)%P;
  debug(tmp6,(i<<2)); debug(ret,(i<<2));
 }
}
int main()
{
 scanf("%d",&n); int dgr = 1; while(dgr<=n) dgr<<=1;
 for(int i=0; i<n; i++) scanf("%lld",&a[i]);
 polyinv(dgr,a,b);
 for(int i=0; i<n; i++) printf("%lld ",b[i]);
 return 0;
}

luogu P4238 多项式求逆 (模板题、FFT)

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