2019.03.18【洛谷P4725】【模板】多项式对数函数/多项式Ln（NTT）（入门微积分）

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解析：

如果不会求导和积分的基础的话就去自学吧。

首先明确一点，模意义下只能表示有理数，所以能够对多项式求 $Ln$的前提就是 $A_0=1$

现在解这个方程，两边同时求导：
$B(x)=F(A(x)),F(x)=\ln(x)\\ B^\prime(x)=F^\prime(A(x))A^\prime(x)$

由于 $\ln(x)^\prime=\frac{1}x$，所以我们有：

$B(x)=\int\frac{A^\prime(x)}{A(x)}\text{d}x$

所以对 $A$求导求逆，再乘起来求不定积分就行了。

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代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define re register
#define gc get_char
#define cs const

namespace IO{
	inline char get_char(){
		static cs int Rlen=1<<20|1;
		static char buf[Rlen],*p1,*p2;
		return (p1==p2)&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,Rlen,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;
	}
	
	inline int getint(){
		re char c;
		while(!isdigit(c=gc()));re int num=c^48;
		while(isdigit(c=gc()))num=(num+(num<<2)<<1)+(c^48);
		return num;
	}
}
using namespace IO;

cs int mod=998244353;
inline int add(int a,int b){return a+b>=mod?a+b-mod:a+b;}
inline int dec(int a,int b){return a<b?a-b+mod:a-b;}
inline int mul(int a,int b){return (ll)a*b%mod;}
inline int quickpow(int a,int b,int res=1){
	while(b){
		if(b&1)res=mul(res,a);
		a=mul(a,a);
		b>>=1;
	}
	return res;
}

cs int N=410000;
int inv[N],r[N];
inline void NTT(int *A,int n,int typ){
	for(int re i=0;i<n;++i)if(i<r[i])swap(A[i],A[r[i]]);
	for(int re i=1;i<n;i<<=1){
		int wn=quickpow(typ==-1?(mod+1)/3:3,(mod-1)/i/2);
		for(int re j=0;j<n;j+=i<<1)
		for(int re k=0,x,y,w=1;k<i;++k,w=mul(w,wn)){
			x=A[j+k],y=mul(w,A[j+k+i]);
			A[j+k]=add(x,y);
			A[j+k+i]=dec(x,y);
		}
	}
	if(typ==-1)for(int re i=0;i<n;++i)A[i]=mul(A[i],inv[n]);
}

inline void Inv(int deg,int *a,int *b){
	static int c[N];
	if(deg==1){b[0]=quickpow(a[0],mod-2);return ;}
	Inv((deg+1)>>1,a,b);
	int re len=1;
	while(len<(deg<<1))len<<=1;
	for(int re i=0;i<len;++i)r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)*(len>>1));
	memcpy(c,a,sizeof(int)*deg);
	memset(c+deg,0,sizeof(int)*(len-deg));
	NTT(c,len,1),NTT(b,len,1);
	for(int re i=0;i<len;++i)b[i]=mul(dec(2,mul(b[i],c[i])),b[i]);
	NTT(b,len,-1);
	memset(b+deg,0,sizeof(int)*(len-deg));
}

inline void deriv(int *A,int *B,int len){
	for(int re i=1;i<len;++i)B[i-1]=mul(i,A[i]),B[len-1]=0;
}

inline void integ(int *A,int *B,int len){
	for(int re i=1;i<len;++i)B[i]=mul(A[i-1],inv[i]),B[0]=0;
}

inline void Ln(int deg,int *f,int *g){
	static int a[N],b[N];
	deriv(f,a,deg);
	Inv(deg,f,b);
	int re len=1;
	while(len<(deg<<1))len<<=1;
	for(int re i=0;i<len;++i)r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)*(len>>1));
	NTT(a,len,1),NTT(b,len,1);
	for(int re i=0;i<len;++i)a[i]=mul(a[i],b[i]);
	NTT(a,len,-1);
	integ(a,g,len);
	memset(g+deg,0,sizeof(int)*(len-deg));
}

inline void init_inv(){
	inv[0]=inv[1]=1;
	for(int re i=2;i<N;++i)inv[i]=mul(mod-mod/i,inv[mod%i]);
}

int f[N],g[N],n;
signed main(){
	init_inv();
	n=getint();
	for(int re i=0;i<n;++i)f[i]=getint();
	Ln(n,f,g);
	for(int re i=0;i<n;++i)cout<<g[i]<<" ";
	return 0;
}