传送门

前置知识：NTT

什么？敢学多项式操作不会FFT/NTT?~~您还是洗洗睡了吧~~

解析：

我们发现，当只有常数项的时候，直接求逆元就可以了。相当于 $\pmod x$

现在考虑在知道了 $F(x)H(x)\equiv 1\pmod {x^{\lfloor\frac n 2\rfloor}}$ 的情况下怎么求 $F(x)G(x)\equiv 1\pmod {x^n}$

显然有 $\begin{aligned} F(x)(G(x)-H(x))&\equiv&& 1\pmod {x^{\lfloor\frac{n}2\rfloor}}\\ G(x)-H(x)&\equiv&& 1\pmod{x^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}}\\ (G(x)-H(x))^2&\equiv &&0\pmod{x^n}\\ G^2(x)-2G(x)H(x)+H^2(x)&\equiv&& 0\pmod{x^n} \end{aligned}$

两边同时乘上 $F(x)$ 得到：

$\begin{aligned} G(x)\equiv 2H(x)-F(x)H^2(x)\pmod n \end{aligned}$

于是就可以直接倍增求了。

一般不会直接做卷积而是选择将 $2$ 看做一个多项式，所有位置的点值全部为 $2$ ，于是就可以只对 $F$ 和 $H$ 做一次 $DFT$ 后得到所有点值，将 $2$ 代入计算后再 $IDFT$ 回去一次，可以达到常数优化的效果。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define re register
#define gc get_char
#define cs const

namespace IO{
	inline char get_char(){
		static cs int Rlen=1<<20|1;
		static char buf[Rlen],*p1,*p2;
		return (p1==p2)&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,Rlen,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;
	}
	
	inline int getint(){
		re char c;
		while(!isdigit(c=gc()));re int num=c^48;
		while(isdigit(c=gc()))num=(num+(num<<2)<<1)+(c^48);
		return num;
	}
}
using namespace IO;

cs int mod=998244353,g=3;
inline int add(int a,int b){return a+b>=mod?a+b-mod:a+b;}
inline int dec(int a,int b){return a<b?a-b+mod:a-b;}
inline int mul(int a,int b){return (ll)a*b%mod;}
inline int quickpow(int a,int b,int res=1){
	while(b){
		if(b&1)res=mul(res,a);
		a=mul(a,a);
		b>>=1;
	}
	return res;
}

cs int N=410000;
int r[N];
inline void NTT(int *A,int n,int typ){
	for(int re i=0;i<n;++i)if(i<r[i])swap(A[i],A[r[i]]);
	for(int re i=1;i<n;i<<=1){
		int wn=quickpow(typ==-1?(mod+1)/g:g,(mod-1)/i/2);
		for(int re j=0;j<n;j+=i<<1)
		for(int re k=0,x,y,w=1;k<i;++k,w=mul(w,wn)){
			x=A[j+k],y=mul(A[j+k+i],w);
			A[j+k]=add(x,y);
			A[j+k+i]=dec(x,y);
		}
	}
	if(typ==-1)for(int re i=0,inv=quickpow(n,mod-2);i<n;++i)A[i]=mul(A[i],inv);
}

int a[N],b[N],c[N];
void Inv(int deg,int *a,int *b){
	if(deg==1)return (void)(b[0]=quickpow(a[0],mod-2));
	Inv((deg+1)>>1,a,b);
	int re len=1;
	while(len<(deg<<1))len<<=1;
	for(int re i=0;i<len;++i)r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)*(len>>1));
	memcpy(c,a,sizeof(int)*deg);
	memset(c+deg,0,sizeof(int)*(len-deg));
	NTT(c,len,1),NTT(b,len,1);
	for(int re i=0;i<len;++i)b[i]=mul(b[i],dec(2,mul(c[i],b[i])));
	NTT(b,len,-1);
	memset(b+deg,0,sizeof(int)*(len-deg));
}

int n;
signed main(){
	n=getint();
	for(int re i=0;i<n;++i)a[i]=getint();
	Inv(n,a,b);
	for(int re i=0;i<n;++i)cout<<b[i]<<" ";
	return 0;
}

2019.03.14【洛谷P4238】【模板】多项式求逆（NTT）

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