迹运算丨trace

迹运算丨$trace$

线性代数运用挺多的运算，学习一下。

理论知识

迹运算返回的矩阵对角元素的和：

$$Tr(A)=\sum_{i}{A_{i,i}}$$
迹运算因为很多原因而受到关注。若不使用求和符号，有些矩阵运算很难描述，而通过矩阵乘法和迹运算符号，可以清楚地表示。例如，迹运算提供了另一种描述矩阵 $Frobenius$ 范数的方式：
$$||A||_F=\sqrt{Tr(AA^T)}$$

Frobenius 范数，即矩阵元素绝对值的平方和再开平方。范数讲解

用迹运算表示表达式，我们可以使用很多有用的等式来操纵表达式。例如，迹运算在转置运算下是不变的：

$$Tr(A) = Tr(A^T)$$

多个矩阵乘积的迹，和将这些矩阵中最后一个挪到最前面之后乘积的迹是相同的。当然，我们需要考虑挪动之后矩阵乘积依然定义良好：

$$Tr(ABC) = Tr(CAB) = Tr(BCA)$$

即使循环置换后矩阵乘积得到的矩阵形状变了，迹运算的结果依然不变。例如，假设矩阵$A ∈ R^{m×n}$，矩阵$B ∈ R^{n×m}$，我们可以得到:

$$Tr(AB) = Tr(BA)$$
即使 $AB ∈ R^{m×m}$和 $BA ∈ R^{n×n}$。

另一个有用的事实是标量在迹运算后仍然是它自己：$a = Tr(a)$。

Matlab 实现

定义矩阵A:

% 矩阵a
a=[1,3,4;
   3,2,4;
   1,1,2]

输入：

% 求迹，主对角线之和
>> trace(a)
ans =
     5

% Frobenius 范数
>> norm(a,'fro');
ans =
    7.8102
% 上述公式实现
>> sqrt(trace(a*a'))
ans =
    7.8102