数据结构 第9讲 数组与广义表
数组是由相同类型的数据元素构成的有序集合。
一维数组看一看作一个线性表，例如：
图1一维数组
二维数组也可以看作一个线性表，例如：
图2二维数组（按列序）
是不是可以看作一个线性表X=(X0，X1，X2，…，Xn-1)？只不过每一个数据元素Xi也是一个线性表。
那么，横看成岭侧成峰：
图3二维数组（按行序）
也可以看作一个线性表Y=(Y0，Y1，Y2，…，Ym-1)？只不过每一个数据元素Yi也是一个线性表。
数组一般采用顺序存储结构，因为存储单元是一维的，而数组可以是多维，如何用一组连续的存储单元来存储多维数组呢？以二维数组为例，可以按行序存储，即先存第一行，再存第二行，…；也可以按列序存储，先存第一列，再存第二列，…；现在比较流行的C语言，Java都是按行序存储的。
如果按行序存储，怎么找到aij的存储位置呢？
先看看在存储aij之前，前面已经存储了多少个元素：
图4二维数组（按行序存储）
从图4可以看出，在aij之前一共有i*n+j个元素，如果每个元素用L个字节，那么需要(i*n+j)*L个字节，只需要用基地址加上这些字节就可以得到aij的存储位置了。
按行序存储，aij的存储位置：
LOC(a00)表示第一个元素的存储位置，即基地址，LOC(aij)表示aij的存储位置。
授人以鱼不如授人以渔，告诉你记住公式，就像送你一条鱼，不如交给你捕鱼的秘籍！
存储位置计算秘籍：aij的存储位置等于矩阵第一个元素的存储位置，加上前面的元素个数*每个元素占的空间数。
如果按列序存储，怎么找到aij的存储位置呢？
先看看在存储aij之前，前面已经存储了多少个元素：
图5二维数组（按列序存储）
从图5可以看出，在aij之前一共有j*m+i个元素，如果每个元素用L个字节，那么需要(j*m+i)*L个字节，只需要用基地址加上这些字节就可以得到aij的存储位置了。
按列序存储，aij的存储位置：
LOC(a00)表示第一个元素的存储位置，即基地址，LOC(aij)表示aij的存储位置。
需要特别注意：二维数组的下标是从1开始的，那么画风就变了～～～
在很多科学工程计算问题中，经常遇到一些阶数很高的矩阵，而且这些矩阵的很多值是相同的，有的还有很多元素是0，为了节省空间，可以对这类矩阵进行压缩存储。
什么是压缩存储？
把多个相同的元素分配一个存储空间，元素为0的不分配空间。
什么样的矩阵能够压缩？
一些特殊矩阵，如：对称矩阵，对角矩阵，三角矩阵，稀疏矩阵等。
什么叫稀疏矩阵？
矩阵中非零元素的个数较少，怎样才算是较少呢？一般认为非零元素个数小于5%的矩阵为稀疏矩阵。
下面介绍几种特殊矩阵的压缩存储方式：
1.对角矩阵
对角矩阵是指在n´n的矩阵中，非零元素集中在主对角线及其两侧共L(奇数)条对角线的带状区域内—L对角矩阵。如图13所示。
图13 5对角矩阵
很明显，L对角矩阵的带宽为L，半带宽d=(L-1)/2，例如5对角矩阵，半带宽d=2。当|i-j|>d时，aij=0。当|i-j|<=d时，aij≠0，为对角矩阵的带状区域元素。
那么L对角矩阵一共有多少个非零元素呢？
首先将每一行以对角线为中心，补零，让每一行都达到L个元素，如图14所示。一共补了多少个零呢？第一行补d，第二行补d，…，1，左上角补零个数为d (d+1)/2，同理，右下角补零个数也为d (d+1)/2，总的补零个数为d (d+1)，那么每行按L个元素计算，再减去补零元素个数即可。即带状区域元素个数为：L*n-d (d+1)，因为d=(L-1)/2，即L=2d+1，所有带状区域元素个数也可以表达为：(2d+1)*n-d (d+1)。
图14 5对角矩阵
那么，补零后每行都有L个元素，需要L*n个空间。为了节省空间，第一行前面和最后一行后面的d个0可以不存储，即”掐头去尾”，即需要L*n-2d个空间。如图15所示，阴影部分就是要存储的元素。
图15 5对角矩阵（掐头去尾）
如果按行序，用一维数组（下标从零开始）存储L对角矩阵。
怎么找到aij的存储位置呢？
首先找到aii的存储位置，因为aii是对角线上的元素，以对角线为中心，左右两侧都是d个元素，如图16所示。因此aii之前有i-1行，每行L个元素，aii所在行左侧有d个元素，如图15所示。因此aii之前有(i-1)*L+d个元素，因为第一行前面的d个0”掐头去尾”没有存储，所以aii之前有(i-1)*L个元素。aii的存储位置为：(i-1)*L。而aij和aii相差j-i个元素，也就是说，aij的存储位置为：(i-1)*L+j-i。
图16对角矩阵存储（按行序）
总结公式：
按行序，用一维数组（下标从零开始）存储L对角矩阵，aij的存储位置：
例如：3对角矩阵，L=3，得到3对角矩阵中aij的存储位置：k=3(i-1)+j-i=2i+j-3，同样，5对角矩阵中aij的存储位置：k=5(i-1)+j-i=4i+j-5。
如果一维数组的下标从1开始，公式后面再+1即可。
对角矩阵还有一种按对角线的顺序存储方式，如图17所示：
图17 5对角矩阵
即对角线作为0行，左侧分别为1，2，…，d行，右侧分别为-1，-2，…，-d行，列值不变，相当于转换为L×n的矩阵，如图18所示：
图18 5对角矩阵存储（按对角线）
那么图18中(b)矩阵，其它位置补零，用一维数组（下标从零开始）按行存储，aij之前有iˊ+d行，aij所在行前面有j-1个元素，因此下标为：
- 稀疏矩阵
稀疏矩阵是指非零元素个数较少，且分布没有规律可言，那么少到什么程度才算稀疏呢？一般认为非零元素小于5%时，属于稀疏矩阵，当然也没那么绝对噢。如图19所示。
图19 稀疏矩阵
稀疏矩阵如何存储呢？
为了节省空间，只需要记录每个非零元素的行、列和数值即可。这就是三元组存储法。如图20所示。
图20 稀疏矩阵三元组存储
广义表：
广义表是线性表的推广，也称为列表。它是n(n³0)个表元素组成的有限序列，记作LS= (a0, a1, a2, …,an-1)，LS是表名，ai是表元素，它可以是表 (称为子表)，可以是数据元素(称为原子)。n为表的长度。n=0的广义表为空表。
广义表最常见就是求表头、表尾。
表头GetHead(L)：非空广义表的第一个元素，可以是一个单元素，也可以是一个子表。
表尾GetTail(L)：非空广义表删除表头元素后余下元素所构成的表。表尾一定是一个表。
例如D=(a,(b),(a,(b,c,d)))，表长为，表头为a，表尾为( (b),(a,(b,c,d)))。如图21所示。
