C++数据结构——数组与广义表

参考博客：

（1）理论：https://www.cnblogs.com/KennyRom/p/5971853.html

（2）理论：https://www.cnblogs.com/zyrblog/p/6870097.html

（3）题型：https://www.cnblogs.com/xingyunblog/p/4229812.html

（4）数据结构小结（五）数组与广义表

一、数组

1、数组的定义、特点、操作

（1）数组的定义：

1）一个 N 维数组是受 N 组线性关系约束的线性表。详细定义见数组定义。

2）一维数组是定长线性表；二维数组是一个定长线性表，它的每个元素是一个一维数组；n维数组是线性表，它的每个元素是n-1维数组。

（2）数组的特点：元素数目固定且下标有界。

（3）数组的操作：按照下标进行读写。

2、数组的顺序表示与实现

由于数组一般不作插入与删除操作，一旦建立了数组，结构中的数据元素个数和元素之间的关系就不再发生变动，因此，采用顺序存储结构表示数组是自然的事。计算机的内存结构是一维的，因此用一维内存来表示多维数组，就必须按某种次序将数组元素排成一列序列，然后将这个线性序列存放在储存器中。

通常有两种顺序存储方式：

（1）行优先顺序——将数组元素按行排列

在PASCAL、C语言中，数组就是按行优先顺序储存。（C/C++，Python，Java）

（2）列优先顺序——将数组按列向量排列。

在FORTRAN语言中，数组就是按列优先顺序储存的。（FORTRAN，Matlab）

3、矩阵的压缩存储

（1）定义

为节省储存空间，矩阵进行压缩存储：即为多个相同的非零的元素值分配一个储存空间；对0元素不分配空间。

（2）特殊矩阵

对称矩阵，三角矩阵等特殊矩阵的存储方法：非零元素的分布都有一个明显的规律，从而都可将其压缩存储到一维数组中，并找到每个非零元在一维数组中的对应关系。

（3）稀疏矩阵

1）定义

假设在mxn的矩阵中，有t个元素不为0，令delta=t/(mxn)，称delta为矩阵的稀疏因子，通常认为delta <= 0.05 时将矩阵称为稀疏矩阵。

2）如何进行稀疏矩阵的压缩存取呢？

A、三元组顺序表（参考博客：https://www.cnblogs.com/KennyRom/p/5971853.html）

用三项内容表示稀疏矩阵中的每个非零元素，进行形式为：（i,j,value），其中i表示行序号，j表示列序号，value表示非零元素的值。

//稀疏矩阵，非零元素比较少
const int max=1000;
 
template<typename Object>
typedef struct
{
    int i, j;
    Object e;
}Triple;
 
template<typename Object>
typedef struct
{
    Triple<Object> data[max];
    int mu, nu, tu;
}TSMatrix;

稀疏矩阵的转置算法：转置前矩阵为M，转置后为T，M的列为T的行，因此，要按M.data的列序转置所得到的转置矩阵T的三元组表必定按行优先存放。其转置算法时间复杂度为O(n*t)，代码为：

template<typename Object>
void trans( TSMattrix<Object>M, TSMatrix<Object>T)
{
    T,mu=M.nu;
    T.nu=M.mu;
    T.tu=M.tu;
 
   if(T.tu)
   {
       int q=0;
       for(int col=0; col< M.nu;col++)
           for(int p=0; p<M.tu; p++)
              {
                  if(M.data[p].j==col)
                    {
                         T.data[q].i=M.data[p].j;
             T.data[q].j=M.data[p].i;
             T.data[q].e=M.data[p].e;
             q++;
                    }
              }
    }
}

快速转置算法：

一遍扫描先确定三元组的位置关系，二次扫描由位置关系装入三元组。为了预先确定矩阵M中的每一列的第一个非零元素在数组B中应有的位置，需要闲球的矩阵M中的每一列中非零元素的个数。为此，需要设计两个一位数组num[0...n-1]和cpot[1..n-1]，num[0...n-1]：统计M中每一列非零元素的个数。cpot[0...n-1]：由递推关系得出M中的每列第一个非零元素在B中的位置，cpot[col]=cpot[col-1]+num[col-1]。算法时间复杂度为O(n+t)，代码如下：

template<typename Object>
void fasttranstri( TSMatrix<Object> M, TSMatrix<Object>T)
{
    int q;
    int *num=new int[M.nu];
    int *copt=new int[M.nu];
    T.mu=M.nu;
    T.nu=M.mu;
    T.tu=M.tu;
 
    if(M.tu)
    {
        for(int col=0; col<M.nu ;col++)
            num[col]=0;
 
   
        //统计每列非零元素个数
        for(int k=0; col<M.tu; k++)
            ++num[m.data[k].j];
 
        //每列第一个非零元素在T中位置
        copt[0]=0;
        for(int col=1; col <M.nu;col++)
             copt[col]=copt[col-1]+num[col-1];
 
        for(int p=0; p<M.tu; p++)
       {
              int col=M.data[p].j;
          q=cpot[col];
          T.data[q].i=M.data[p].j;
          T.data[q].j=M.data[p].i;
          T.data[q].e=M.data[p].e;
          ++copt[col];
       }
    }
    delete[] num;
    delete[] cpot;
}

B、行逻辑链接的顺序表

将快速转置矩阵的算法中创建的指示“行”信息的辅助数组cpot固定在稀疏矩阵的存储结构中，称这种“带行链接信息”的三元组表为行逻辑链接的顺序表。

C、十字链表

当矩阵的非零元个数和位置在操作过程中变化较大时，就不宜采用顺序存储结构来表示三元组的线性表了。

3)稀疏矩阵的运算操作（矩阵的乘法）

未完待续。。。

C++数据结构——数组与广义表

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