数据结构与算法·第5章【数组和广义表】

数组

基本操作

InitArray(&A, n, bound1, ..., boundn)

DestroyArray(&A)

Value(A, &e, index1, ..., indexn)

Assign(&A, e, index1, ..., indexn)

数组的顺序表示

两种顺序映象的方式:

以行序为主序(低下标优先)；
以列序为主序(高下标优先)。

在这里插入图片描述

而 $n$ 维数组：LOC(x1, x2, ..., xn) = LOC(0, 0, ..., 0) + [(x1 × b1 + x2) × b2 + x3] × b3 + ... + xn

数据类型定义

#include <stdarg.h> // 标准头文件，提供宏 va_start、va_arg 和 va_end，用于存取变长参数表

#define MAX_ARRAY_DIM 8 // 假设数组维数的最大值为 8

typedef struct {
    
    
    ElemType *base;  // 数组元素地址，由 InitArray 分配
    int dim;         // 数组维数
    int *bounds;     // 数组维界基址，由 InitArray 分配
    int *constants;  // 数组映像函数常量基址，由 InitArray 分配
} Array;

其中：

Status InitArray(Array& A, int dim, ...) {
    
    
    // 若维数 dim 不合法，则返回 ERROR
    if (dim < 1 || dim > MAX_ARRAY_DIM) {
    
    
        return ERROR;
    }
    A.dim = dim;
    A.bounds = (int*)malloc(dim * sizeof(int));
    if (!A.bounds) {
    
    
        exit(OVERFLOW);
    }
    // 存储各维长度，并计算元素总数 elemtotal
    int elemtotal = 1;
    va_list ap;  // 定义 va_list 类型变量 ap，用于存放变长参数表信息的数组
    va_start(ap, dim);  // 初始化 ap 数组
    for (int i = 0; i < dim; ++i) {
    
    
        A.bounds[i] = va_arg(ap, int);
        if (A.bounds[i] < 0) {
    
    
            return UNDERFLOW;
        }
        elemtotal *= A.bounds[i];
    }
    va_end(ap);  // 结束 ap 数组

    A.base = (ElemType*)malloc(elemtotal * sizeof(ElemType));
    if (!A.base) {
    
    
        exit(OVERFLOW);
    }
    // 求映像函数的常数 ci，并存入 A.constants[i-1]，i=1,...,dim
    A.constants = (int*)malloc(dim * sizeof(int));
    if (!A.constants) {
    
    
        exit(OVERFLOW);
    }
    A.constants[dim - 1] = 1;
    // L=1，指针的增减以元素的大小为单位
    for (int i = dim - 2; i >= 0; --i) {
    
    
        A.constants[i] = A.bounds[i + 1] * A.constants[i + 1];
    }
    return OK;  // 返回 OK
}

A.bounds是每一维可以放多少元素：a[A.bounds[0]][A.bounds[1]][A.bounds[2]]……
A.constants是指向每一维开始的元素的指针（因为是顺序存放，所以没有在计算机中没有明显的维数的区分，需要自己计算出指向每一维第一个元素的指针）

关于va_list的解释

/**
 * 在数组 A 中定位指定下标的元素，并计算出该元素的相对地址。
 * 
 * @param A     要定位的多维数组
 * @param ap    指示要定位的下标列表的可变参数
 * @param off   返回该元素在数组 A 中的相对地址
 * @return      如果下标合法，返回 OK；否则返回 OVREFLOW
 */
Status Locate(Array A, va_list ap, int& off) {
    
    
    // 初始化偏移量为 0
    off = 0;
    // 循环遍历所有维度
    for (int i = 0; i < A.dim; ++i) {
    
    
        // 获取当前维度的下标值
        int ind = va_arg(ap, int);  
        // 检查下标值是否超出边界
        if (ind < 0 || ind >= A.bounds[i]) {
    
    
            return OVREFLOW;
        }
        // 计算该维度下标对应的偏移量，并累加到总偏移量中
        off += A.constants[i] * ind;
    }
    // 如果下标合法，则返回 OK
    return OK;
}

矩阵的压缩存储

在这里插入图片描述

#define MAXSIZE 12500

typedef union {
    
    
    Triple data[MAXSIZE + 1]; // 用于存储稀疏矩阵中的非零元素
    int mu, nu, tu; // 分别表示稀疏矩阵的行数、列数和非零元素个数
} TSMatrix; // 稀疏矩阵类型

有2类稀疏矩阵：

非零元在矩阵中的分布有一定规则
例如: 三角矩阵, 对角矩阵
随机稀疏矩阵
非零元在矩阵中随机出现

随机稀疏矩阵的压缩存储方法:

三元组顺序表

这个结构体一般用于表示稀疏矩阵中的非零元素。对于一个 m 行 n 列的稀疏矩阵，如果其非零元素个数为 k，则可以用一个长度为 k 的 Triple 数组来存储这些非零元素。

#define MAXSIZE 12500

typedef struct {
    
    
    int i, j; // 该非零元的行下标和列下标
    ElemType e; // 该非零元的值
} Triple; // 三元组类型

行逻辑联接的顺序表
十字链表

求转置矩阵

三元组作转置

Status FastTransposeSMatrix(TSMatrix M, TSMatrix &T){
    
    
    T.mu = M.nu;
    T.nu = M.mu;
    T.tu = M.tu;
    if (T.tu) {
    
    
        int col, t, p;
        int num[MAXSIZE + 1] = {
    
    0}; // 列计数器，用于记录每列非零元素的个数
        int cpot[MAXSIZE + 1] = {
    
    0}; // 行指针数组，用于记录每列第一个非零元素在转置矩阵中的位置
        // 统计每列非零元素的个数
        for (col = 1; col <= M.nu; ++col) {
    
    
            num[col] = 0;
        }
        for (t = 1; t <= M.tu; ++t) {
    
    
            ++num[M.data[t].j];
        }
        // 计算每列第一个非零元素在转置矩阵中的位置
        cpot[1] = 1;
        for (col = 2; col <= M.nu; ++col) {
    
    
            cpot[col] = cpot[col - 1] + num[col - 1];
        }
        // 执行转置操作
        for (p = 1; p <= M.tu; ++p) {
    
    
            col = M.data[p].j;
            int q = cpot[col]; // 该元素在转置矩阵中的位置
            T.data[q].i = M.data[p].j;
            T.data[q].j = M.data[p].i;
            T.data[q].e = M.data[p].e;
            ++cpot[col]; // 该列的行指针加1
        }
    }
    return OK;
} // FastTransposeSMatrix

行逻辑连接的顺序表

#define MAXMN 500

typedef struct {
    
    
    Triple data[MAXSIZE + 1]; // 非零元三元组表
    int rpos[MAXRC + 1]; // 各行第一个非零元的位置表
    int mu, nu, tu;  // 矩阵的行数、列数和非零元个数            
} RLSMatrix; // 行逻辑链接顺序表类型

ElemType value(RLSMatrix M, int r, int c) {
    
    
    int p = M.rpos[r];
    while (M.data[p].i == r && M.data[p].j < c) {
    
    
        p++;
    }
    if (M.data[p].i == r && M.data[p].j == c) {
    
    
        return M.data[p].e;
    } else {
    
    
        return 0;
    }
} // value

矩阵乘法：

// 稀疏矩阵相乘
Status MultSMatrix(RLSMatrix M, RLSMatrix N, RLSMatrix &Q) {
    
    
    // 如果两个稀疏矩阵的列数不等，则无法相乘，返回错误状态
    if (M.nu != N.mu) {
    
    
        return ERROR;
    }
    // 计算结果矩阵Q的行数，列数以及非零元素个数
    Q.mu = M.mu;
    Q.nu = N.nu;
    Q.tu = 0;
    // 如果M、N之间存在非零元素，则进行矩阵相乘的处理
    if (M.tu * N.tu != 0) {
    
    
        // 遍历M的每一行
        for (int arow = 1; arow <= M.mu; ++arow) {
    
    
            // M矩阵中第arow行在三元组表中的起始位置
            int mp = M.rpos[arow];
            // 遍历N的每一列
            for (int bcol = 1; bcol <= N.nu; ++bcol) {
    
    
                // 初始化N矩阵中第bcol列在三元组表中的起始位置
                int np = N.rpos[bcol];
                // 累加M矩阵第arow行和N矩阵第bcol列的乘积
                ElemType temp = 0;
                while (mp < M.tu && np < N.tu) {
    
    
                    // 如果M矩阵和N矩阵中的当前位置元素在同一列，则累加乘积
                    if (M.data[mp].j == N.data[np].i) {
    
    
                        temp += M.data[mp].e * N.data[np].e;
                        mp++;
                        np++;
                    } else if (M.data[mp].j < N.data[np].i) {
    
    
                        mp++;
                    } else {
    
    
                        np++;
                    }
                } // while
                // 如果累加的乘积不为0，则添加到结果矩阵Q中
                if (temp != 0) {
    
    
                    Q.tu++;
                    // 将非零元素添加到Q三元组表的末尾
                    Q.data[Q.tu].i = arow;
                    Q.data[Q.tu].j = bcol;
                    Q.data[Q.tu].e = temp;
                }
            } // for bcol
        } // for arow
    } // if
    return OK;
} // MultSMatrix

十字链表

在这里插入图片描述

结构体定义

typedef struct OLNode {
    
    
    int i, j;       // 该非零元的行和列下标 
    ElemType e;     // 该非零元的值 
    struct OLNode *right, *down;   // 该非零元所在行表和列表的后继指针 
} OLNode, *OLink;

typedef struct {
    
    
    OLink *rhead, *chead;   // 行和列链表头，指向 rhead 与 chead 数组
                            // 指针向量基址由 CreateSMatrix 函数分配
    int mu, nu, tu;         // 稀疏矩阵的行数、列数和非零元个数      
} CrossList;

广义表

在这里插入图片描述
结构特点：

广义表的长度定义为最外层包含元素个数；
广义表的深度定义为所含括弧的重数；
注意：“原子”的深度为 0 ；“空表”的深度为 1

在这里插入图片描述
表头要去掉一次括号，表尾直接拿并且包含原来的括号

广义表的存储结构

表头、表尾法

在这里插入图片描述
其中，NIL表示空表

还是好好看看吧

子表表示

在这里插入图片描述

注意其中0|x后面是0|y，而不是跟着表尾，这个时候是把表后面的元素拿出来，所以它和表头表尾表示法的区别就在这，它拿后面的子表也要去掉最外面的括号

搭配这个例子才比较好理解一些

求深度

int GlistDepth(Glist L) {
    
    
    // 返回指针L所指的广义表的深度
    int max = 0;
    Glist pp;
    int dep;
    if(!L) return 1;
    if(L->tag==ATOM) return 0;
    for (pp = L; pp; pp = pp->ptr.tp) {
    
    
        dep = GlistDepth(pp->ptr.hp);
        if (dep > max) {
    
    
            max = dep;
        }
    }
    return max + 1;
} // GlistDepth

遇到求深度的一些填空题，可能要自己画一下了，不是用眼睛能看出来的

比如：广义表 { {1,2},{3,{4,5}}} 中，子表 {1,2} 和 {3,{4,5}} 位于同层，此广义表中包含 3 层括号，因此深度为 3。

((1,2),(3,(4,5)))
((1,2),(3,(4,5)))
((1,2),(3,(4,5)))

习题

计算地址

在这里插入图片描述

注意按行和按列计算

（1）100 （2）776 （3）1784 （4）4416

a₃₁₂₅—— 3×3×5×8+1×5×8+2×8+5
高维的系数乘以低维所包含的元素数

5.19 马鞍点

若矩阵 $A$ 中的某个元素 a_i_j是第 $i$ 行中的最小值同时又是第 $j$ 列中的最大值，则称此元素为该矩中的一个马鞍点。假设以二维数组存储矩阵 $A_{m*n}$ ，试编写求出矩阵中所有马鞍点的算法,并分析你的算法在最坏情况下的时间复杂度

void saddle(int a[m][n]) {
    
    
    int flag = 0, min, col;
    for (int i = 0; i < m; ++i) {
    
    
        min = a[i][0];
        for (int j = 0; j < n; ++j) {
    
    
            if (a[i][j] < min) {
    
    
                min = a[i][j];
                col = j;
            }
        }
        int flag1 = 1;
        for (int k = 0; k < m; ++k) {
    
    
            if (min < a[k][col]){
    
    
                flag1 = 0;
                break;
            }
        }
        if (flag1) {
    
    
            printf("%d行%d列是马鞍点，值为%d\n", i, col, min);
            flag = 1;
        }

    }
    if (!flag) {
    
    
        printf("无马鞍点\n");
    }
}

时间复杂度： $O(m^2+m*n)$