第十二章 数据结构 数组和广义表 矩阵的存储 稀疏矩阵

数组

数组的定义，特点及顺序存储

线性表的推广- 数组

数组是我们熟悉的数据结构，可以把数组看作是线性表的推广。
数组的特点是结构中的元素本身可以是具有某种结构的数据， 但属于同一数据类型。
以一维数组为基础， 可以这样观察。
将二维数组看成数据元素是一维数组的一维数组。
将三维数组看成元素是二维数组的一维数组。

n维数组中， 每个数据元素受n个关系的约束。
一般来说， 在数组上不能做插入， 删除数据元素的操作。
通常在各种高级语言中数组一旦被定义， 每一维的大小及上下界都不能改变。
取值操作： 给定一组下标， 读其对应的数据元素。
赋值操作： 给定一组下标， 存储或修改与其相对应的数据元素。

由于对数组一般不做插入、删除操作; -旦建立了数组，数据元素个数和元素之间的关系就不再发生变动。

因此， 采用顺序存储结构标表示数组。

是以行为主序(即先行后列)的顺序存放，行存储完了接着存储下一行。
是以列为主序(即先列后行)的顺序存放，列存储完了接着存储下一列。

获取地址：Loc(aij) = Loc(a1，1) + ((i - 1) * n + j - 1) * L;

特殊矩阵-压缩存储

对称矩阵的压缩存储方式

用于缩小存储单元
$aij = aji$
只需存储 $n * (n + 1) / 2$个存储单元.

带状矩阵

所需存储空间 3 *n - 2;

存储位置计算

LOC（ai,j ） = LOC(a1,1) + ((i - 1) * n + j - 1) * L;
LOC(ai, j) = LOC(a0,0) + (i *n + j ) * L;

例题

稀疏矩阵

稀疏矩阵中零元很多。
设m x n 矩阵中有t个非零元素且m * nt << m x n,
d = t / (m x n) d就被称为稀疏因子， d <= 0.05时为稀疏矩阵。

采用顺序存储结构存储非零元的三元组， 称为三元组表， 其中非零元按以行为主序存储。

显然， 要唯一的表示一个稀疏矩阵， 可在存储三元组表的同时存储该矩阵的行， 列， 为了方便运算， 矩阵的非零元素个个数也同时存储。

➊三 元组表存储的稀疏矩阵，在进行矩阵加法、减法和乘法等操作时，有时矩阵中的非零元素的位置和个数会发生很大的变化。

➊如A=A+ B,将矩阵B加到矩阵A.上，此时若还用三元组表表示法，势必会为了保持三元组表“以行序为主序”而大量移动元素。为此引入了链式存储稀疏矩阵。

➊矩阵中，每一个矩阵元素aij，受两个线性关系的约束，行关系、列关系;每一个关系都是线性的，我们可以用线性链表来存储行关系、列关系;

➊这样，aij就处于第i行的单链表中，也处于第j列的单链表中，就像处十字路口一-样，所以我们将这种存储结构称之为“十字链表”。

十字链表存储方式

三元组矩阵的快速转置

三元组矩阵以顺序表模式对稀疏矩阵中的非零元素进行存储， 每个元素记录了其所在的行号，列号以及元素值， 并且非零元素在三元组表中以行号为顺序进行排列。


常规算法 $dest[col][row] = source[row][col]$
$O(m * n)$

快速转置 - 基本策略

令矩阵M第j列有k个非零元素。 M的第j列构成了转置矩阵T的第j行。

算法思想整理

转置矩阵的思想就是实现了元素的行列互换，但我们要保证在转置之后， 三元组依旧按照行顺序存储。

取出原来的三元表中的列元素， 依次对应于转置三元表中的元素，三元表中元素的行则等于它的上一个列元素 的位置+ 上一个列元素中包含的元素。

总结

三元组的优点：实现了稀疏矩阵的高效存储。

三元组的缺点：无法直接随机存取数据元素， 对矩阵运算带来了不便。

本节通过矩阵转置实现了：

压缩存储后算法的特殊性。
优秀算法设计的技巧性和优雅性。