联合分布（一）：什么是概率分布

1）基础知识预备：概率分布

　　广义地，它指称随机变量的概率性质，即一个随机变量在概率空间的分布状况

　　狭义地，它是指随机变量的概率分布函数，定义如下：

　　　　　　　　　　　　　　对于任意实数a，有： F_X(a) = P(X≤a) ，F_X(a)即是a的概率分布函数，而 P(X≤a) 则是在随机变量X取值≤a时的所有的概率之和，所以概率分布函数又称为累计概率函数。ps：个人认为叫做累计概率函数更好理解一些啊！！！更详细的剖解请参考 https://www.jianshu.com/p/b570b1ba92bb

　　1.1）常见的几种分布：

　　#二项分布：详细请参考：https://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E9%A0%85%E5%88%86%E4%BD%88

　　　　二项分布是一种离散型的概率分布。故明思义，二项代表这个随机变量只有两种可能的结果。

　　　　  掷硬币就是一个典型的二项分布。当我们要计算抛硬币n次，恰巧有x次正面朝上的概率，可以使用二项分布的公式：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

 其中，p为正面朝上的概率

　　#泊松分布：

　　　　泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数的概率分布。如某一服务设施在一定时间内受到的服务请求的次数

　　　　泊松分布的概率质量函数为：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　泊松分布的参数λ是单位时间（或单位面积）内随机事件的平均发生率。

　　#正态分布：

　　　　又名高斯分布，是一个非常常见的连续概率分布。正态分布在统计学上十分重要，经常用在自然和社会科学来代表一个不明的随机变量。

　　　　若随机变量服从一个位置参数（X的期望）为、尺度参数（X的标准差）为的正态分布，记为：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　有几种不同的方法用来说明一个随机变量。最直观的方法是概率密度函数，这种方法能够表示随机变量每个取值有多大的可能性。

　　　　累积分布函数是一种概率上更加清楚的方法，请看下边的例子。

　　　　正态分布的概率密度函数：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　正态分布的累计概率函数（由密度函数表示的）：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　正态分布的累积分布函数能够由一个叫做误差函数的特殊函数表示：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　标准正态分布的累积分布函数习惯上记为，它仅仅是指，时的值，

　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　将一般正态分布用误差函数表示的公式简化，可得：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　关于正态分布的几个特征：

　　　　a.密度函数关于平均值对称

　　　　b.平均值与它的众数（statistical mode）以及中位数（median）同一数值。

　　　　c.函数曲线下68.268949%的面积在平均数左右的一个标准差范围内。

　　　　d.95.449974%的面积在平均数左右两个标准差的范围内。

　　　　e.99.730020%的面积在平均数左右三个标准差的范围内。

　　　　f.99.993666%的面积在平均数左右四个标准差的范围内。

　　　　g.函数曲线的拐点为离平均数一个标准差距离的位置。

　　　　关于正态分布的几个性质：

1. 如果且与是实数，那么 
2. 如果与是统计独立的正态随机变量，那么：
   • 它们的和也满足正态分布 
   • 它们的差也满足正态分布.
   • 与两者是相互独立的。（要求X与Y的方差相等）
3. 如果和是独立正态随机变量，那么：
   • 它们的积服从概率密度函数为的分布

     其中是修正贝塞尔函数（modified Bessel function）

   • 它们的比符合柯西分布，满足.
4. 如果为独立标准正态随机变量，那么服从自由度为n的卡方分布。