POJ1061青蛙约会问题(仅供参考,不支持AC)

两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去，总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙，你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面，会在什么时候碰面。
我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B，并且规定纬度线上东经0度处为原点，由东往西为正方向，单位长度1米，这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x，青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面.

这道题考察的是欧几里得公式的;

我在这里简单提示一下(不再证明推导了,不懂的可以先自己找资料(百度都可以找到的)学一下.

关于欧几里得算法定理:

定理:gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);       //gcd是最大公约数的表示方法;mod 是取余数的意思.

代码表示

int gcd(int a,int b)

{

    return b?gcd(b , a mod b):a;

}

扩展欧几里得算法

描述:已知a,b;

求解一组关于x,y使得公式a*x+b*y=gcd(a,b)成立(解一定存在)

(也常用来求逆元x是某个数的逆元,y是某个数的逆元);

代码表示

int exgcd(int a,int b, int &x,int &y)

{

    if(b==0)

    {

         x=1;

         y=0;

         return a;

    }

int r=exgcd(b,a%b,x,y);

int t=x;

x=y;

y=t-a/b*y;

return r;

}

接下来进入正题,我们要根据条件,列出关系式,从而找到,,x,y,m,n,L之间关于扩展欧几里得的关系;

不妨设青蛙跳t次青蛙相遇;    A青蛙走过的路程为m*t,B青蛙走过的路程n*t;

分别加上他们的起始位置并对长度L 求mod,就可以得到,他们的末位置坐标,A (m*t+x) mod L , B(n*t+y) mod L ;

我们假设的是青蛙跳t次相遇,则有关系式(m*t + x) mod L = (n*t+y) mod L;

整理一下有:m*t+x-(n*t+y)=K*L;(k为他们相差的圈数);

即(m-n)*t+K*L=y-x(这时候公式已经接近a*x+b*y=gcd(a,b))

如果我们按照欧几里得公式求出的 t 是关于gcd(a,b)的所以我们要t=t*(y-x)/gcd(m-n,L);

就成了我们要求的(m-n)*t+K*L=y-x;

所以这时候我们注意到如果(y-x)%gcd(m-n,L)!=0;那么就没有我们要得到解t了.

如果等于零的话那不是存在(y1-x)/gcd(m-n,L)=(y2-x)/gcd(m-n,L);

不就有多个解t了,而t是唯一的特解,与定义矛盾了.所以要注意这一点;

其实我们很容易想到存在不可能相遇的情况了,只是怎么用公式表示出来.

下面贴AC代码;

注意数字范围,不要爆表.
#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<stdio.h>
//欧几里得扩展公式
long long exgcd(long long a, long long b, long long &x, long long &y)
{
	if (b == 0)
	{
		x = 1;
		y = 0;
		return a;
	}
	long long r = exgcd(b, a%b, x, y);
	long long t = x;
	x = y;
	y = t - a / b * y;
	return r;

}
//gcd公式
long long gcd(long long a, long long b)
{
	return b ? gcd(b, a%b) : a;
}
int main()
{
	long long x1, y1, m, n, L;
	long long a, b, d;
	long long k2, k1;
	scanf("%lld %lld %lld %lld %lld", &x1, &y1, &m, &n, &L);
	a = n-m;
	b = L;
	d = x1 - y1;
	long long c = gcd(a, b);
	if (d % c != 0)
	{
		printf("Impossible\n");
	}
	else
	{
		a /= c;//这一行可有可没有.
		b /= c;//这行可有可没有.
		d /= c;//标记1
		exgcd(a, b, k1, k2);
		k1 *= d;//这行跟标记1,就是将欧几里得公式求的k1(跳的次数)换成我需要的;k1=k1*d/c;
		long long temp = (k1%b + b) % b;//用于k1<0时转成k1>0;我用下面的代码表示相同效果

               /* if(k1>0)//大于0的情况可能存在大于L,所以要求余.如果仅有k1<0,判断会错的.
                {
                    k1=k1%L;
                }
                */
               /*while(k1<0)//k1小于0的情况;
               {
                    k1+=L;
               }*/
		printf("%lld\n", temp);
	}
	return 0;
}