Codeforces 906D（欧拉降幂定理？ + 唯一分解定理）

莫名其妙的欧拉降幂定理，网上也找不到证明和解释，只有这个看不太懂（感觉代码和文字关联不大）的博客，但是神奇的可以ac，觉得很奇怪，难道真的是我太菜了。。。

代码应该是正确的，虽然很多地方没法理解，但是可以记录下来当模板使用

出处 ： 博客

博客中的代码：

#include<bits/stdc++.h>  
#define Mod(a,b) a<b?a:a%b+b                     //重定义取模，按照欧拉定理的条件  
#define LL long long  
#define N 100010  
using namespace std;  
  
LL n,q,mod,a[N];  
map<LL,LL> mp;  
  
LL qpow(LL x,LL n,LL mod)  
{  
    LL res=1;  
    while(n)  
    {  
        if (n&1) res=Mod(res*x,mod),n--;  
        x=Mod(x*x,mod); n>>=1;  
    }  
    return res;  
}  
  
LL phi(LL k)  
{  
    LL i,s=k,x=k;  
    if (mp.count(k)) return mp[x];                  //记忆化存储  
    for(i = 2;i * i <= k; i++)  
    {  
        if(k % i == 0) s = s / i * (i - 1);  
        while(k % i == 0) k /= i;  
    }  
    if(k > 1) s = s / k * (k - 1);  
    mp[x]=s; return s;  
}  
  
LL solve(LL l,LL r,LL mod)  
{  
    if (l==r||mod==1) return Mod(a[l],mod);                 //如果到右端点或者φ值等于1，那么直接返回当前数字  
    return qpow(a[l],solve(l+1,r,phi(mod)),mod);            //否则指数为[l+1,r]区间的结果  
}  
  
int main()  
{  
    scanf("%lld%lld",&n,&mod);  
    for(int i=1;i<=n;i++)  
        scanf("%lld",&a[i]);  
    scanf("%lld",&q);  
    while(q--)  
    {  
        int L,R;  
        scanf("%d%d",&L,&R);  
        printf("%lld\n",solve(L,R,mod)%mod);                //对mod取模，因为qpow内部是用Mod(a,b)取模  
    }  
    return 0;  
}  

其中有一段代码：

LL phi(LL k)  
{  
    LL i,s=k,x=k;  
    if (mp.count(k)) return mp[x];                  //记忆化存储  
    for(i = 2;i * i <= k; i++)  
    {  
        if(k % i == 0) s = s / i * (i - 1);  
        while(k % i == 0) k /= i;  
    }  
    if(k > 1) s = s / k * (k - 1);  
    mp[x]=s; return s;  
}  

返回值是欧拉函数值，一开始有点懵，仔细一看就是唯一分解定理

将一个数分解，各种质因子，然后运用欧拉函数求解方式

φ(n)=n*（1-1/p1)(1-1/p2)....(1-1/pk),其中p1、p2…pk为n的所有素因子，可以求得欧拉函数值，值得学习。。上面的代码就当模板用吧先。。