Codeforces Round #588 (Div. 2) C——Primes and Multiplication（唯一分解定理）

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C.Anadi and Domino

题意
给定 $x,n$，求 $\displaystyle\prod_{i=1}^{n}f(x,i)$

定义1: 对于 $g(x,p)$，定义 $k$ 是 $x$ 可以整除 $p$ 的最大次幂，那么 $g(x,p)=p^k$
例如
$g(45,3)=9$， $3^2$可以整除 $45$，但是 $3^3$就不可以整除 $45$，所以 $k = 2,g(45,3)=3^2=9$

定义2: $\displaystyle f(x,y) =\prod_{p}g(y,p)[p是x的质因子]$

思路
现将 $x$ 用试除法分解质因子，然后根据一个推论：

[1,n] 中因子中含有 i 的数字个数是 $\displaystyle\lfloor\frac{n}{i}\rfloor$
在kuangbin的练习中（J）也用过这个推论。

找出所有的然后每次累乘 qpow(p[i],n / p[i])，在乘的过程中取余即可。（qpow是快速幂）

下面以 $x=12,n = 11$来举例：

先打出所有的 $f(x,i),i <= n$，分解 $12$ 是 $2^2\ 3$
先将 $[1,11]$ 中因子有 $2$的数字 中的 $2$先提出来乘, $2,4,6,8,10$一共 $5$个数 ，就乘上 $2^5$，
这样上图就变成这样
灰色代表我们已经乘过了

之后将 $11\ / \ 2$（整除），得到 $5$，再找 $[1,5]$中 因子有 $2$的数字，是 $2,4$一共 $2$个数，乘上 $2^2$。
这一步相当于把第二张图中，第 $4$ 项和第 $8$ 项的 $2$ 也给乘掉。
这样所有的 $2$就都乘完了

之后的质因子就都是这样乘，这种方法有点埃式筛法的意思。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll __int64
using namespace std;

const int N = 1e5 + 7;
const int mod = 1e9 + 7;

int c[N],p[N],tot = 0;
int prime[N],prime_tot = 0;
bool prime_tag[N];
ll x,n;

void get_prime(){
	
	for(ll i = 2; i < N; i++) prime_tag[i] = true;
	for(ll i  = 2; i < N; i++){
		for(ll j = i * i ; j < N; j += i)
			prime_tag[j] = false;
	}
	for(int i = 2; i < N; i++)
		if(prime_tag[i]) prime[prime_tot++] = i; 
}
ll qpow(ll a,ll b){
	ll res = 1;
	while(b){
		if(b & 1){
			res = res * a % mod; 
		}
		a = a * a % mod;
		b >>= 1;
	}
	return res;
}
void divide(ll n) {
    for(int i = 0 ; i < prime_tot && prime[i]*prime[i] <= n; i++) {
        if(n % prime[i] == 0) {
            p[++tot] = prime[i];
            while(n % prime[i] == 0 && n > 1) {
               	c[tot]++;
                n /= prime[i];
            }
            if(n == 1) break;
        }
    }
    if(n > 1) {
        p[++tot] = n;
        c[tot] = 1;
    }
}
ll solve(ll m){
	ll res = 1,t;
	divide(x);
	for(int i = 1 ; i <= tot; i++){
		t = m;
		while(t){
			res = res % mod * qpow(p[i],t / p[i]) % mod;
			t /= p[i];
			//printf("res = %I64d \n",res);
		}
	}
	return res;
}
int main(){
	ll ans;
	get_prime();
	scanf("%I64d%I64d",&x,&n);
	ans = solve(n);
	printf("%I64d",ans);
	return 0;
}