公路工程三维坐标系研究

目标
引言
1. 数学基础
- 1.1 向量(Vector)
- 1.2 基(Basic,基底)
2. 公路工程三维坐标系
- 2.1 桩号基底 $B_s$
- 2.2 路线基底 $B_r$
3. 公路三维坐标系应用
- 3.1 计算桩号在路线中的位置矩阵

作者: 姚彧
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0.1	2018-08-07	创建文档

目标

建立公路工程三维坐标系

引言

在公路三维建模中, 为了清晰、简洁的表达公路三维模型，我们需要采用各种三维坐标系。本文尝试通过应用空间向量基的原理，对公路三维建模所需的坐标系进行研究。

1. 数学基础

1.1 向量(Vector)

向量指具有大小和方向的量。

1.2 基(Basic,基底)

1.2.1 线性无关

在一个向量空间$V_n$中，假设：

$a_1e_1 + ⋯ + a_ne_n = 0$　　(式1)

只在 $a_1 = ⋯ = a_n = 0$ 时成立，那么向量 $\{e_1, e_2, ..., e_n\}$ 是线性无关的。
如果任何 $a_i$ 不为零，那么这些向量是线性相关的，其中一个向量是其他向量的组合。

1.2.2 基底

$n$维向量空间$V_n$中任意向量$P$都可以由一组$n$个线性无关的向量集$B_n$组成，这样的向量集$B_n$称为基。定义如下：
向量空间$V_n$的基底$B_n$是一组$n$个线性无关的向量$\{e_1, e_2, ..., e_n\}$，
对于任何给定 $V_n$ 空间的中向量 $P$，都存在实数 $\{a_1, a_2, ..., a_n\}$，使得

$P = a_1e_1 + ⋯ + a_ne_n $　　(式２)

2. 公路工程三维坐标系

在公路工程中，结构物一般都是沿路线进行布置。找出适合公路工程表现方式的三维坐标系，可以清晰地表达公路三维模型。

基于向量空间基的定义, 在三维空间中, 可以使用任意基底来表达模型物体。因此本文根据公路三维特点，定义了如下公路三维基底：

2.1 桩号基底 $B_s$

首先，对于路线局部区域，可以建立以路线设计线指定桩号中心为基准的桩号基底。

2.1.1 桩号基底的选择

在任意中心桩号, 可以选择如下正交向量组$\{B_3\}$作为基底:

向右(基向量,$V_r$), 路线水平前进方向右转$90^o$
向前(基向量,$V_f$), 路线水平前进方向
向上(基向量,$V_u$), 竖直高度方向

2.1.2 桩号基底的存储

为了将横断面转换到三维, 使用($V_r, V_u$)分量保存横断面坐标, 这样横断面从二维转到三维只需要第三分量设为0, 即(x, y, 0).
将前进方向保存在第三分量上, 这样就组成了桩号基底($V_r, V_u, V_f$), 我们用单位矩阵$M_s=I_3$表示.

因为分量定义顺序的原因, 桩号基底满足下列关系:

$V_r \times V_u = V_f$
$V_u \times V_f = V_r$
$V_f \times V_r = V_u$

2.1.3 桩号基底的特点

将存储结果与实际情况对比, 造成了桩号基底符合 左手法则, (右, 上, 前), 在应用时, 需要注意.
真实的笛卡尔向量, 需要通过笛卡尔基底还原

$P_r \cdot M_r = P_s \cdot M_0 \cdot \begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \cdot M_l = P_s \cdot \begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \cdot M_l = P_s \cdot M_s$

2.2 路线基底 $B_r$

对于路线，直接使用笛卡尔基底(即单位矩阵$M_r=I_3$)来表示坐标:

$P_r=(X, Y, Z) \cdot M_r$。

3. 公路三维坐标系应用

3.1 计算桩号在路线中的位置矩阵

路线前进方向在笛卡尔坐标系中进行计算

$V_f = P_e - P_s$
其中：$P_e,P_s$中z分量=0
$V_u = [0,0,1]$
$V_r = V_f \times V_u$
$M_s = [V_r, V_u, V_f] \Leftrightarrow\begin{bmatrix}
0 & -1 & 0 \
0 & 0 & 1\
1 & 0 & 0
\end{bmatrix} \cdot M_l $
基点: $ P_s $

使用齐次矩阵表示为

$M_s = \begin{bmatrix} V_r & 0 \\ V_u & 0 \\ V_f & 0 \\ P_s & 1 \end{bmatrix}$

最后, 以桩号基底$B_s$表示的齐次坐标点$P_s=[P_s, 1]$最终在路线基底$B_r$中表示为

$P_r = P_s \cdot M_s$