Codeforces Round #501 F. Bracket Substring 思路+dp+KMP 详解

题意：

给定n和一个括号序列 t，问：一个长度为2*n 的括号序列 s 的种类数，要求 t 是 s 的子串，s是平衡括号序列；

思路：

这个题算是 BZOJ - 1009: [HNOI2008]GT考试 dp+KMP https://blog.csdn.net/xiang_6/article/details/81434904

的简化版本；解释一下这个题：

首先我们不考虑是否是平衡括号序列这个要求，如果只是要求包含 t 的 s 的种类的话，我们可以

令 dp[i][j] 表示当匹配到 s 串的第 i 个字符的时候，恰好匹配到 t 串的第 j 个字符，并且此时 s 串包含 j 个字符的后缀恰好是 t 串的前缀；这是dp[i][j] 就是上述条件下的种类数，再看状态转移

当我们要继续匹配 s 串第 i+1个字符时，对于本题，只有 ‘(’ ，‘)’ 两种情况，然后我们假设加上第 i+1个字符后，恰好匹配到了 t 串的第x个位置（这里的匹配是满足上述dp[][] 的定义的匹配），这样的话，dp[i][j] 就为 dp[i+1][x] 做出来贡献，

所以转移方程就是 dp[i+1][x] += dp[i][j] 这里的 x 由当前位置 j 和新加入的字符决定；这个 x 可以用KMP快速实现得到；

需要注意：当dp[i][j] 中 j = len（t 串长度）时，无论添加什么字符，我们都仍然往 dp[i+1][len] 转移

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然后我们考虑 s 是否是平衡括号序列的问题：

只需要再添加一维，令 dp[i][j][k]，前两维还是上述的 dp[i][j]，，第三维表示当前括号序列中，除去平衡括号外，左括号多出来的数目为k，因为从左往右添加括号，右括号不能超过左括号，所以 k >=0，转移方程改为：

当新加括号为'(' 时： dp[i+1][x][k+1] += dp[i][j][k]

当新加括号为'(' 并且 k>0 时： dp[i+1][x][k-1] += dp[i][j][k]

同时也要注意：j = len 时，这一行上面的两行转移方程中 x 一直为len；

还要注意一点：k 的大小我们更新到初始的n值就够了，否则会超时

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 200 + 7;
const int mod = 1e9 + 7;
int n, len, m;
char t[maxn];
int f[maxn], dp[maxn][maxn][maxn] = {0};

int main() {
  scanf("%d%s", &n, t+1);
  m = n; n <<= 1;
  len = strlen(t+1);
  f[1] = f[2] = 1;
  for(int i = 2; i < len; ++i) {
    int j = f[i];
    while(j > 1 && t[j] != t[i]) j = f[j];
    f[i+1] = (t[j] == t[i] ? j+1 : 1);
  }
  dp[0][0][0] = 1;
  for(int i = 0; i < n; ++i) {
    for(int j = 0; j <= len; ++j) {
      for(int k = 0; k <= m; ++k) {
        if(j == len) {
          (dp[i+1][j][k+1] += dp[i][j][k] ) %= mod;
          if(k) (dp[i+1][j][k-1] += dp[i][j][k] ) %= mod;
          continue;
        }
        char c = '(';
        int j_ = j+1;
        while(j_ > 1 && t[j_] != c) j_ = f[j_];
        if(t[j_] != c) j_--;
        (dp[i+1][j_][k+1] += dp[i][j][k] ) %= mod;
        if(k) {
          char c = ')';
          int j_ = j+1;
          while(j_ > 1 && t[j_] != c) j_ = f[j_];
          if(t[j_] != c) j_--;
          (dp[i+1][j_][k-1] += dp[i][j][k] ) %= mod;
        }
      }
    }
  }
  //for(int i = 0; i <= n; ++i) {
    cout << dp[n][len][0] << endl;
  //}
  return 0;
}


/*
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                     .::::::::.
                    :::::::::::  I want to say...Accepted!
                ..:::::::::::'
              '::::::::::::'
                .::::::::::
           '::::::::::::::..
                ..::::::::::::.
              ``:::::::::::::::·
               ::::``:::::::::'        .:::.
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     ...:::           ::::::::::::'              ``::.
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