Educational Codeforces Round 78 --- F. Cards

题意：

给你m张牌，其中一张王，随机洗牌，若第一张牌是王，说它是好的。问你洗n次牌，好的次数为x，求出\(x^{k}\)的期望。

解法：

\(x^{k}\)的期望可以转化为有序k元组\((a_1,a_2...,a_k)\)的个数期望。其中\(a_i\)表示第i次洗牌是好的。
对于任意一组\((a_1,a_2...,a_k)\)它是好的可能性是\({\frac 1 m}^{p}\)，其中p是k个数中不同数的个数。
因此可以用DP来处理,f[i][j]表示k元组填了前i个有j个不同的数有多少种方案。

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;

ll f[5050][5050];
const ll mol = 998244353;
ll add(ll a,ll b) { a += b; if (a >= mol) a -= mol; return a; }
ll qpow(ll a,ll b) {
    ll ans = 1;
    while (b) {
        if (b & 1) ans = ans * a % mol;
        a = a * a % mol;
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}

int main(){
    int n,m,k;
    cin >> n >> m >> k;
    f[0][0] = 1;
    for (int i = 1; i <= k; i++)
        for (int j = 1; j <= i; j++)
            f[i][j] = add(f[i][j] , add(f[i - 1][j] * j % mol , f[i - 1][j - 1] * (n - j + 1) % mol));
    ll ans = 0;
    ll inv = qpow(m , mol - 2);
    for (int i = 1; i <= k; i++)
        ans = add(ans , f[k][i] * qpow(inv , i) % mol);
    cout << ans << endl;
}