[leetcode] Find the duplicate number 寻找重复数

题目

Given an array nums containing n + 1 integers where each integer is between 1 and n (inclusive), prove that at least one duplicate element must exist. Assume that there is only one duplicate number, find the duplicate one.

• Note:
  You must not modify the array (assume the array is read only).
  You must use only constant extra space.
  Your runtime complexity should be less than O(n2).
  There is only one duplicate number in the array, but it could be repeated more than once.

分析题目

给定一个包含n + 1个整数的数组，其中每一个整数均介于[1, n]之间，证明其中至少有一个重复元素存在。假设只有一个数字出现重复，找出这个重复的数字。
- 不能改变原数组，即不能给原数组排序，
- 又不能用多余空间，哈希表也就不用考虑了
- 又说时间小于O(n2)，也就不能用brute force的方法.

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解法一 二分搜索法

• 时间复杂度O(NlogN)
• 空间复杂度O(1)

n+1个数，所有的数都在[1, n]区域内，首先让我们证明必定会有一个重复数，抽屉原理(又叫鸽巢原理), 即如果有十个苹果放到九个抽屉里，如果苹果全在抽屉里，则至少有一个抽屉里有两个苹果.考虑用二分搜索法，我们在区别[1, n]中搜索，首先求出中点mid，然后遍历整个数组，统计所有小于等于mid的数的个数，如果个数大于mid，则说明重复值在[mid+1, n]之间，反之，重复值应在[1, mid-1]之间，然后依次类推，直到搜索完成，此时的low就是我们要求的重复值.

代码(Java)

class Solution {
        public int findDuplicate(int[] nums) {
        int low = 1, high = nums.length;
        while (low < high) {
            int mid = low + (high - low) * 0.5;
            int cnt = 0;
            for(int i = 0; i < nums.length; i++){
                if(nums[i] <= mid){
                    cnt++;
                }
            if (cnt <= mid) low = mid + 1;
            else high = mid;
        }
        return low;
    }
};

解法二 映射找环法

• 时间复杂度O(Nl)
• 空间复杂度O(1)

假设数组中没有重复，那我们可以做到这么一点，就是将数组的下标和1到n每一个数一对一的映射起来。比如数组是213,则映射关系为0->2, 1->1, 2->3。假设这个一对一映射关系是一个函数f(n)，其中n是下标，f(n)是映射到的数。如果我们从下标为0出发，根据这个函数计算出一个值，以这个值为新的下标，再用这个函数计算，以此类推，直到下标超界。实际上可以产生一个类似链表一样的序列。比如在这个例子中有两个下标的序列，0->2->3。

但如果有重复的话，这中间就会产生多对一的映射，比如数组2131,则映射关系为0->2, {1，3}->1, 2->3。这样，我们推演的序列就一定会有环路了，这里下标的序列是0->2->3->1->1->1->1->…，而环的起点就是重复的数。

所以该题实际上就是找环路起点的题，和Linked List Cycle II一样。我们先用快慢两个下标都从0开始，快下标每轮映射两次，慢下标每轮映射一次，直到两个下标再次相同。这时候保持慢下标位置不变，再用一个新的下标从0开始，这两个下标都继续每轮映射一次，当这两个下标相遇时，就是环的起点，也就是重复的数。对这个找环起点算法不懂的，请参考Floyd’s Algorithm。

代码(Java)

class Solution {
        public int findDuplicate(int[] nums) {
        int slow = 0;
        int fast = 0;
        // 找到快慢指针相遇的地方
        do{
            slow = nums[slow];
            fast = nums[nums[fast]];
        } while(slow != fast);
        int find = 0;
        // 用一个新指针从头开始，直到和慢指针相遇
        while(find != slow){
            slow = nums[slow];
            find = nums[find];
        }
        return find;
    }
}
    }
}