快速求出1到n的k次方和
1k+2k+3k+...+nk=???
有没有什么快速的方法能够推导出上面的公式呢??
大家都知道(反正我之前只知道前三个):
1+2+3+...+n=12(n+1)n
12+22+32+...+n2=16n(n+1)(2n+1)
13+23+33+...+n3=(1+2+3+...+n)2=[12(n+1)n]2=14(n+1)2n2
14+24+34+...+n4=130n(n+1)(2n+1)(3n2+3n−1)
...................
第1个公式的证明:
小学生请出门左拐。
第2个公式的证明:
n3−(n−1)3
=n2+n(n−1)+(n−1)2
=2n2+(n−1)2−n
得到
13−03=2∗12+02−1
23−13=2∗22+12−2
33−23=2∗32+22−3
...
n3−(n−1)3=2n2+(n−1)2−n
全部相加
n3=3(12+22+32+...+n2)−n2−(1+2+3+...+n)
3(12+22+33+...+n2)=n3+n2+12(n+1)n
12+22+33+...+n2=16n(n+1)(2n+1)
第三个公式的证明:
n4−(n−1)4
=[n2+(n−1)2][n2−(n−1)2]
=(2n2−2n+1)(2n−1)
=4n3−6n2+4n−1
得到
14−04=4∗13−6∗12+4∗1−1
24−14=4∗23−6∗22+4∗2−1
34−24=4∗33−6∗32+4∗3−1
...
n4−(n−1)4=4n3−6n2+4n−1
全部相加
n4=4(13+23+33+...+n3)−6(12+22+33+...+n2)+4(1+2+3+...+n)−n
4(13+23+33+...+n3)=n4+n(n+1)(2n+1)−2(n+1)n+n
13+23+33+...+n3=14(n+1)2n2
应该能发现这个证明的方法的规律了吧(其实就是降次)
后面的递推着推就好
然而博主不会k次方幂的通项公式
这里是%%%ACdreamer的详细讲解