图说卡尔曼滤波

什么是卡尔曼滤波？

对于这个滤波器，我们几乎可以下这么一个定论：只要是存在不确定信息的动态系统，卡尔曼滤波就可以对系统下一步要做什么做出有根据的推测。即便有噪声信息干扰，卡尔曼滤波通常也能很好的弄清楚究竟发生了什么，找出现象间不易察觉的相关性。

因此卡尔曼滤波非常适合不断变化的系统，它的优点还有内存占用较小（只需保留前一个状态）、速度快，是实时问题和嵌入式系统的理想选择。

如果你曾经Google过卡尔曼滤波的教程（如今有一点点改善），你会发现相关的算法教程非常可怕，而且也没具体说清楚是什么。事实上，卡尔曼滤波很简单，如果我们以正确的方式看它，理解是很水到渠成的事。

本文会用大量清晰、美观的图片和颜色来解释这个概念，读者只需具备概率论和矩阵的一般基础知识。

我们能用卡尔曼滤波做什么？

让我们举个例子：你造了一个可以在树林里四处溜达的小机器人，为了让它实现导航，机器人需要知道自己所处的位置。

也就是说，机器人有一个包含位置信息和速度信息的状态 $\vec{x}_k$ ：

注意，在这个例子中，状态是位置和速度，放进其他问题里，它也可以是水箱里的液体体积、汽车引擎温度、触摸板上指尖的位置，或者其他任何数据。

我们的小机器人装有GPS传感器，定位精度10米。虽然一般来说这点精度够用了，但我们希望它的定位误差能再小点，毕竟树林里到处都是土坑和陡坡，如果机器人稍稍偏了那么几米，它就有可能滚落山坡。所以GPS提供的信息还不够充分。

我们也可以预测机器人是怎么移动的：它会把指令发送给控制轮子的马达，如果这一刻它始终朝一个方向前进，没有遇到任何障碍物，那么下一刻它可能会继续坚持这个路线。但是机器人对自己的状态不是全知的：它可能会逆风行驶，轮子打滑，滚落颠簸地形……所以车轮转动次数并不能完全代表实际行驶距离，基于这个距离的预测也不完美。

这个问题下，GPS为我们提供了一些关于状态的信息，但那是间接的、不准确的；我们的预测提供了关于机器人轨迹的信息，但那也是间接的、不准确的。

但以上就是我们能够获得的全部信息，在它们的基础上，我们是否能给出一个完整预测，让它的准确度比机器人搜集的单次预测汇总更高？用了卡尔曼滤波，这个问题可以迎刃而解。

卡尔曼滤波眼里的机器人问题

还是上面这个问题，我们有一个状态，它和速度、位置有关：

我们不知道它们的实际值是多少，但掌握着一些速度和位置的可能组合，其中某些组合的可能性更高：

gauss_0

卡尔曼滤波假设两个变量（在我们的例子里是位置和速度）都应该是随机的，而且符合高斯分布。每个变量都有一个均值 $μ$ ，它是随机分布的中心；有一个方差 $σ^2$ ，它衡量组合的不确定性。

gauss_1

在上图中，位置和速度是不相关的，这意味着我们不能从一个变量推测另一个变量。

那么如果位置和速度相关呢？如下图所示，机器人前往特定位置的可能性取决于它拥有的速度。

gauss_3

这不难理解，如果基于旧位置估计新位置，我们会产生这两个结论：如果速度很快，机器人可能移动得更远，所以得到的位置会更远；如果速度很慢，机器人就走不了那么远。

这种关系对目标跟踪来说非常重要，因为它提供了更多信息：一个可以衡量可能性的标准。这就是卡尔曼滤波的目标：从不确定信息中挤出尽可能多的信息！

为了捕获这种相关性，我们用的是协方差矩阵。简而言之，矩阵的每个值是第 $i$ 个变量和第 $j$ 个变量之间的相关程度（由于矩阵是对称的， $i$ 和 $j$ 的位置可以随便交换）。我们用 $Σ$ 表示协方差矩阵，在这个例子中，就是 $Σ_{ij}$ 。

gauss_2

用矩阵描述问题

为了把以上关于状态的信息建模为高斯分布（图中色块），我们还需要 $k$ 时的两个信息：最佳估计 $\hat{x}_k$ （均值，也就是 $μ$ ），协方差矩阵 $P_k$ 。（虽然还是用了位置和速度两个变量，但只要和问题相关，卡尔曼滤波可以包含任意数量的变量）

接下来，我们要通过查看当前状态（k-1时）来预测下一个状态（k时）。这里我们查看的状态不是真值，但预测函数无视真假，可以给出新分布：

gauss_7

我们可以用矩阵 $F_k$ 表示这个预测步骤：

gauss_8

它从原始预测中取每一点，并将其移动到新的预测位置。如果原始预测是正确的，系统就会移动到新位置。

这是怎么做到的？为什么我们可以用矩阵来预测机器人下一刻的位置和速度？下面是个简单公式：

换成矩阵形式：

这是一个预测矩阵，它能给出机器人的下一个状态，但目前我们还不知道协方差矩阵的更新方法。这也是我们要引出下面这个等式的原因：如果我们将分布中的每个点乘以矩阵A，那么它的协方差矩阵会发生什么变化

把这个式子和上面的最佳估计 $\hat{x}_k$ 结合，可得：

外部影响

但是，除了速度和位置，外因也会对系统造成影响。比如模拟火车运动，除了列车自驾系统，列车操作员可能会手动调速。在我们的机器人示例中，导航软件也可以发出停止指令。对于这些信息，我们把它作为一个向量 $\vec{u}_k$ ，纳入预测系统作为修正。

假设油门设置和控制命令是已知的，我们知道火车的预期加速度 $a$ 。根据运动学基本定理，我们可得：

把它转成矩阵形式：

$B_k$ 是控制矩阵， $\vec{u}_k$ 是控制向量。如果外部环境异常简单，我们可以忽略这部分内容，但是如果添加了外部影响后，模型的准确率还是上不去，这又是为什么呢？

外部不确定性

如果状态根据自己的属性发展，一切都很好。如果状态根据外力发展，只要我们知道那些外部力量是什么，一切都仍然很好。

但是，如果存在我们不知道的力量呢？当我们监控无人机时，它可能会受到风的影响；当我们跟踪轮式机器人时，它的轮胎可能会打滑，或者粗糙地面会降低它的移速。这些因素是难以掌握的，如果出现其中的任意一种情况，预测结果就难以保障。

这要求我们在每个预测步骤后再加上一些新的不确定性，来模拟和“世界”相关的所有不确定性：

gauss_9

如上图所示，加上外部不确定性后， $\hat{x}_{k-1}$ 的每个预测状态都可能会移动到另一点，也就是蓝色的高斯分布会移动到紫色高斯分布的位置，并且具有协方差 $Q_k$ 。换句话说，我们把这些不确定影响视为协方差 $Q_k$ 的噪声。

gauss_10a

这个紫色的高斯分布拥有和原分布相同的均值，但协方差不同。

gauss_10b

我们在原式上加入 $Q_k$ ：

简而言之，这里：

$\color{magenta}{\text{新的最佳估计}}\$ 是基于 $\color{blue}{\text{原最佳估计}}\$ 和 $\color{orange}{\text{已知外部影响}}\$ 校正后得到的预测。

$\color{magenta}{\text{新的不确定性}}\$ 是基于 $\color{blue}{\text{原不确定性}}\$ 和 $\color{turquoise}{\text{外部环境的不确定性}}\$ 得到的预测。

现在，有了这些概念介绍，我们可以把传感器数据输入其中。

通过测量来细化估计值

我们可能有好几个传感器，它们一起提供有关系统状态的信息。传感器的作用不是我们关心的重点，它可以读取位置，可以读取速度，重点是，它能告诉我们关于状态的间接信息——它是状态下产生的一组读数。

gauss_12

请注意，读数的规模和状态的规模不一定相同，所以我们把传感器读数矩阵设为 $H_k$ 。

gauss_12

把这些分布转换为一般形式：

卡尔曼滤波的一大优点是擅长处理传感器噪声。换句话说，由于种种因素，传感器记录的信息其实是不准的，一个状态事实上可以产生多种读数。

gauss_12

从我们观察到的每个读数中，我们可能会猜测我们的系统处于特定状态。但由于存在不确定性，一些状态比其他状态更有可能产生我们所看到的读数：

gauss_11

我们将这种不确定性（即传感器噪声）的协方差设为 $R_k$ ，读数的分布均值设为 $z_k$ 。

现在我们得到了两块高斯分布，一块围绕预测的均值，另一块围绕传感器读数。

gauss_4

如果要生成靠谱预测，模型必须调和这两个信息。也就是说，对于任何可能的读数 $(z_1,z_2)$ ，这两种方法预测的状态都有可能是准的，也都有可能是不准的。重点是我们怎么找到这两个准确率。

最简单的方法是两者相乘：

gauss_5

两块高斯分布相乘后，我们可以得到它们的重叠部分，这也是会出现最佳估计的区域。换个角度看，它看起来也符合高斯分布：

gauss_6

事实证明，当你把两个高斯分布和它们各自的均值和协方差矩阵相乘时，你会得到一个拥有独立均值和协方差矩阵的新高斯分布。最后剩下的问题就不难解决了：我们必须有一个公式来从旧的参数中获取这些新参数！

结合高斯

让我们从一维看起，设方差为 $σ^2$ ，均值为 $μ$ ，一个标准一维高斯钟形曲线方程如下所示：

那么两条高斯曲线相乘呢？

Multiplying Gaussians

把这个式子按照一维方程进行扩展，可得：

如果有些太复杂，我们用k简化一下：

以上是一维的内容，如果是多维空间，把这个式子转成矩阵格式：

这个矩阵 $K$ 就是我们说的卡尔曼增益，easy！

把它们结合在一起

截至目前，我们有用矩阵 $(μ_0,Σ_0)=(H_k\hat{x}_k,H_kP_kH_{k}^{T})$ 预测的分布，有用传感器读数 $(μ_1,Σ_1)=(\vec{z}_k,R_k)$ 预测的分布。把它们代入上节的矩阵等式中：

相应的，卡尔曼增益就是：

考虑到 $K$ 里还包含着一个 $H_k$ ，我们再精简一下上式：

最后， $\hat{x}_k^′$ 是我们的最佳估计值，我们可以把它继续放进去做另一轮预测：

Kalman filter information flow diagram

应用例子：估计小车的运动状态

1、数学模型：

有一个匀加速运动的小车，它受到的合力为ft，由匀加速运动的位移和速度公式，能得到由t-1到t时刻的位移和速度变化公式：

该系统的状态向量包括位移和速度，分别用xt和xt的导数表示。控制输入变量为u，也就是加速度，于是有如下形式：

所以这个系统的状态方程为：

这里对应的矩阵A大小为2*2，矩阵B大小为2*1.

注意Z是测量值，大小为m*1，H也是状态变量到测量的转换矩阵，大小为m*n。随机变量v是测量噪声。

假设车是匀加速远离我们，站在原点用超声波测量小车离我们的距离。

对于小车匀加速运动的模型，假设系统的噪声向量只存在速度分量上，且速度噪声的方差是一个常量0.01，位移分量上的系统噪声为0.测量值只有位移，它的协方差矩阵大小是1*1，就是测量噪声的方差本身。

Q中，叠加在速度上系统噪声方差为0.01，位移上的为0，它们间的协方差为0，即噪声间没有关联。

2、C++实现代码：

#include <iostream>
#include <fstream>
#include <string>
#include <vector>
#include <Eigen/Dense>//包含Eigen矩阵运算库，用于矩阵计算
#include <cmath>
#include <limits>//用于生成随机分布数列

using namespace std;
using Eigen::MatrixXd;

int main(int argc, char **argv[])
{
	//""中是txt文件路径，注意：路径要用//隔开
	ofstream fout("..//result.txt");

	double generateGaussianNoise(double mu, double sigma);//随机高斯分布数列生成器函数

	const double delta_t = 0.1;//控制周期，100ms
	const int num = 100;//迭代次数
	const double acc = 10;//加速度，ft/m

	MatrixXd A(2, 2);
	A(0, 0) = 1;
	A(1, 0) = 0;
	A(0, 1) = delta_t;
	A(1, 1) = 1;

	MatrixXd B(2, 1);
	B(0, 0) = pow(delta_t, 2) / 2;
	B(1, 0) = delta_t;

	MatrixXd H(1, 2);//测量的是小车的位移，速度为0
	H(0, 0) = 1;
	H(0, 1) = 0;

	MatrixXd Q(2, 2);//过程激励噪声协方差，假设系统的噪声向量只存在速度分量上，且速度噪声的方差是一个常量0.01，位移分量上的系统噪声为0
	Q(0, 0) = 0;
	Q(1, 0) = 0;
	Q(0, 1) = 0;
	Q(1, 1) = 0.01;

	MatrixXd R(1, 1);//观测噪声协方差，测量值只有位移，它的协方差矩阵大小是1*1，就是测量噪声的方差本身。
	R(0, 0) = 10;

	//time初始化，产生时间序列
	vector<double> time(100, 0);
	for (decltype(time.size()) i = 0; i != num; ++i) {
		time[i] = i * delta_t;
		//cout<<time[i]<<endl;
	}

	MatrixXd X_real(2, 1);
	vector<MatrixXd> x_real, rand;
	//生成高斯分布的随机数
	for (int i = 0; i<100; ++i) {
		MatrixXd a(1, 1);
		a(0, 0) = generateGaussianNoise(0, sqrt(10));
		rand.push_back(a);
	}
	//生成真实的位移值
	for (int i = 0; i < num; ++i) {
		X_real(0, 0) = 0.5 * acc * pow(time[i], 2);
		X_real(1, 0) = 0;
		x_real.push_back(X_real);
	}

	//变量定义，包括状态预测值，状态估计值，测量值，预测状态与真实状态的协方差矩阵，估计状态和真实状态的协方差矩阵，初始值均为零
	MatrixXd X_evlt = MatrixXd::Constant(2, 1, 0), X_pdct = MatrixXd::Constant(2, 1, 0), Z_meas = MatrixXd::Constant(1, 1, 0),
		Pk = MatrixXd::Constant(2, 2, 0), Pk_p = MatrixXd::Constant(2, 2, 0), K = MatrixXd::Constant(2, 1, 0);
	vector<MatrixXd> x_evlt, x_pdct, z_meas, pk, pk_p, k;
	x_evlt.push_back(X_evlt);
	x_pdct.push_back(X_pdct);
	z_meas.push_back(Z_meas);
	pk.push_back(Pk);
	pk_p.push_back(Pk_p);
	k.push_back(K);

	//开始迭代
	for (int i = 1; i < num; ++i) {
		//预测值
		X_pdct = A * x_evlt[i - 1] + B * acc;
		x_pdct.push_back(X_pdct);
		//预测状态与真实状态的协方差矩阵，Pk'
		Pk_p = A * pk[i - 1] * A.transpose() + Q;
		pk_p.push_back(Pk_p);
		//K:2x1
		MatrixXd tmp(1, 1);
		tmp = H * pk_p[i] * H.transpose() + R;
		K = pk_p[i] * H.transpose() * tmp.inverse();
		k.push_back(K);
		//测量值z
		Z_meas = H * x_real[i] + rand[i];
		z_meas.push_back(Z_meas);
		//估计值
		X_evlt = x_pdct[i] + k[i] * (z_meas[i] - H * x_pdct[i]);
		x_evlt.push_back(X_evlt);
		//估计状态和真实状态的协方差矩阵，Pk
		Pk = (MatrixXd::Identity(2, 2) - k[i] * H) * pk_p[i];
		pk.push_back(Pk);
	}

	cout << "含噪声测量" << "  " << "后验估计" << "  " << "真值" << "  " << endl;
	for (int i = 0; i < num; ++i) {
		cout<<z_meas[i]<<"  "<<x_evlt[i](0,0)<<"  "<<x_real[i](0,0)<<endl;
		fout << z_meas[i] << "  " << x_evlt[i](0, 0) << "  " << x_real[i](0, 0) << endl;//输出到txt文档，用于matlab绘图
																						//cout<<k[i](1,0)<<endl;
																						//fout<<rand[i](0,0)<<endl;
																						//fout<<x_pdct[i](0,0)<<endl;
	}

	fout.close();
	getchar();
	return 0;
}

//生成高斯分布随机数的函数，网上找的
double generateGaussianNoise(double mu, double sigma)
{
	const double epsilon = std::numeric_limits<double>::min();
	const double two_pi = 2.0*3.14159265358979323846;

	static double z0, z1;
	static bool generate;
	generate = !generate;

	if (!generate)
		return z1 * sigma + mu;

	double u1, u2;
	do
	{
		u1 = rand() * (1.0 / RAND_MAX);
		u2 = rand() * (1.0 / RAND_MAX);
	} while (u1 <= epsilon);

	z0 = sqrt(-2.0 * log(u1)) * cos(two_pi * u2);
	z1 = sqrt(-2.0 * log(u1)) * sin(two_pi * u2);
	return z0 * sigma + mu;
}

3、MATLAB绘图：

a = dlmread('result.txt');

plot(a)

参考：

How a Kalman filter works, in pictures

图说卡尔曼滤波，一份通俗易懂的教

卡尔曼滤波 -- 从推导到应用

https://blog.csdn.net/m0_38089090/article/details/79523784

什么是卡尔曼滤波？

我们能用卡尔曼滤波做什么？

卡尔曼滤波眼里的机器人问题

用矩阵描述问题

通过测量来细化估计值

结合高斯

把它们结合在一起

应用例子：估计小车的运动状态

参考：

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