问题
给定如图所示的无向连通图,假定图中所有边的权值均为1,显然,从源点A到终点T的最短路径有多条,求不同的最短路径数目。
分析
权值相同的最短路径问题,则单源点 算法退化为BFS广度优先算法, 使用 算法只能求的到各个节点的最短路径,但不能求得最短路径的条数。假定起点为0,终点为N,数组 中 代表到第 个节点的最短路径长度,数组 中 代表到第 个节点的最短路径条数,首先:
- 初始化为0
- 初始化为0
- 为1,即起点到起点的路径数量为1
从当前节点 扩展到邻接节点 时:
若 为0,则表示从未到达过节点 ,则:
- ,
若 ,表示已经有从其他节点到达过节点 ,并且路径长度和从节点 到节点 的路径长度相等,则已有到达 的路径数加上经过 到达 的路径数为当前从源点到达节点 的路径数量:
若 ,则已有的经过其他节点到达节点 的路径长度要比经过节点 到达节点 路径长度要长,则需要更新到达节点 的路径长度和路径数量,即:
- ,
当扩展到节点 时,终止算法
代码实现
借助广度优先搜索的思想遍历所有节点,具体实现如CalPathNum.hpp所示:
#ifndef CalPathNum_hpp
#define CalPathNum_hpp
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <queue>
const int nodeCnt = 16;
int calculatePathNum(int graph[nodeCnt][nodeCnt]) {
int step[nodeCnt]; // step[i]表示到第i个节点的步数
int pathNum[nodeCnt]; // pathNum[i]表示到第i个节点的最短路径条数
memset(step, 0, sizeof(int)*nodeCnt);
memset(pathNum, 0, sizeof(int)*nodeCnt);
pathNum[0] = 1; // 起点到起点的路径数量为1
std::queue<int> q; // 广度优先搜索中保存当前到达的节点
q.push(0); // 首先到达起点
int from, i, s;
while (!q.empty()) {
from = q.front();
q.pop();
s = step[from] + 1; // 和from节点相邻的节点的路径长度
for (i = 1; i < nodeCnt; i++) { // 0是起点,不需要遍历
if (graph[from][i] == 1) { // 从from到i是连通的
if (step[i] == 0 || step[i] > s) { // i节点从未到达过或发现更快的路径
step[i] = s;
pathNum[i] = pathNum[from];
q.push(i); // 将和from相邻的节点入队,相当于广度优先搜索中form节点的下一层节点入队
} else if(s == step[i]){ // 发现相同长度的路径
pathNum[i] += pathNum[from];
}
}
}
}
return pathNum[nodeCnt-1];
}
#endif /* CalPathNum_hpp */
测试代码如main.cpp:
#include "CalPathNum.hpp"
int main(int argc, const char * argv[]) {
// 测试最短路径条数
int graph[16][16];
memset(graph, 0, sizeof(int) * 16 * 16);
graph[0][1] = graph[0][4] = 1;
graph[1][5] = graph[1][0] = graph[1][2] = 1;
graph[2][1] = graph[2][6] = graph[2][3] = 1;
graph[3][2] = graph[3][7] = 1;
graph[4][0] = graph[4][5] = 1;
graph[5][1] = graph[5][4] = graph[5][6] = graph[5][9] = 1;
graph[6][2] = graph[6][5] = graph[6][7] = graph[6][10] = 1;
graph[7][3] = graph[7][6] = 1;
graph[8][9] = graph[8][12] = 1;
graph[9][8] = graph[9][13] = graph[9][10] = 1;
graph[10][9] = graph[10][14] = graph[10][11] = 1;
graph[11][10] = graph[11][15] = 1;
graph[12][8] = graph[12][13] = 1;
graph[13][9] = graph[13][12] = graph[13][14] = 1;
graph[14][10] = graph[14][13] = graph[14][15] = 1;
graph[15][11] = graph[15][14] = 1;
printf("%d\n", calculatePathNum(graph));
return 0;
}
该算法事实上是广度优先搜索的一个应用