[BZOJ2154]Crash的数字表格（莫比乌斯反演）

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https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2154

Solution

显然是莫比乌斯反演。

$$\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^M\text{lcm}(i,j)$$
$$=\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^M\frac{ij}{\gcd(i,j)}$$
$$\sum_d\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^M\frac{ij}d[\gcd(i,j)=d]$$
$$=\sum_d\sum_{i=1}^{\lfloor\frac Nd\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac Md\rfloor}dij[\gcd(i,j)=1]$$
$$=\sum_dd\sum_{i=1}^{\lfloor\frac Nd\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac Md\rfloor}ij\sum_{k|\gcd(i,j)}\mu(k)$$
$$=\sum_dd\sum_k\sum_{i=1,k|i}^{\lfloor\frac Nd\rfloor}\sum_{j=1,k|j}^{\lfloor\frac Md\rfloor}ij\mu(k)$$
$$=\sum_dd\sum_kk^2S(\lfloor\frac N{dk}\rfloor)S(\lfloor\frac M{dk}\rfloor)\mu(k)$$
其中 $S(x)=\frac{x(x+1)}2$ 。
发现下取整内的分母是乘积的形式，还是不好做。
所以设 $T=dk$ ：
$$\sum_T\sum_{k|T}\frac Tkk^2S(\lfloor\frac NT\rfloor)S(\lfloor\frac MT\rfloor)\mu(k)$$
$$=\sum_TTS(\lfloor\frac NT\rfloor)S(\lfloor\frac MT\rfloor)\sum_{k|T}k\mu(k)$$
再考虑求 $f(T)=\sum_{k|T}k\mu(k)$ 。
对于任意的 $\gcd(S,T)=1$ ，都有：
$$f(ST)=\sum_{k|ST}k\mu(k)$$
$$\sum_{d|S}\sum_{k|T}dk\mu(dk)$$
$$=(\sum_{d|S}\mu(d))(\sum_{k|T}\mu(k))$$
$$=f(S)f(T)$$
我们得到： $f$ 是积性函数。可以线性筛求。
$$f(1)=1$$
$$\forall n为质数且k\ge 1,f(n^k)=1-n$$
$$\forall m为质数且m|n,f(nm)=f(n)$$
$$\forall\gcd(n,m)=1,f(nm)=f(n)f(m)$$

Code

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define For(i, a, b) for (i = a; i <= b; i++)
#define Step(i, a, b, x) for (i = a; i <= b; i += x)
using namespace std;
const int MaxN = 1e7, N = 1e7 + 5, ZZQ = 20101009;
int n, m, tot, pri[N], zzq[N], ans;
bool mark[N];
void sieve() {
    int i, j;
    mark[0] = mark[zzq[1] = 1] = 1;
    For (i, 2, MaxN) {
        if (!mark[i]) zzq[pri[++tot] = i] = 1 - i + ZZQ;
        For (j, 1, tot) {
            if (1ll * i * pri[j] > MaxN) break;
            mark[i * pri[j]] = 1;
            if (i % pri[j] == 0) {
                zzq[i * pri[j]] = zzq[i];
                break;
            }
            else zzq[i * pri[j]] = 1ll * zzq[i] * zzq[pri[j]] % ZZQ;
        }
    }
}
int S(int n) {
    return (1ll * n * (n + 1) >> 1) % ZZQ;
}
int main() {
    int i;
    cin >> n >> m;
    sieve();
    For (i, 1, min(n, m))
        ans = (ans + 1ll * i * S(n / i) % ZZQ * S(m / i)
        % ZZQ * zzq[i] % ZZQ) % ZZQ;
    cout << ans << endl;
    return 0;
}