2019.01.20【BZOJ2154】【洛谷P1829】Crash的数字表格（莫比乌斯反演）

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解析：

数学题就不废话了，我们要求的是这个式子： $\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mlcm(i,j)$

还是转化成 $gcd$，一波常规操作： $\begin{aligned} Ans=&\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\frac{i\times j}{gcd(i,j)}\\ =&\sum_{d=1}^{\min(n,m)}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\frac{i\times j}d[gcd(i,j)=d]\\ =&\sum_{d=1}^{\min(n,m)}d\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}d\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{m}{d}\rfloor}ij[gcd(i,j)=1] \end{aligned}$

好了，有这种东西就可以上 $e$的反演了，而且上面这个东西： $\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}d\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{m}{d}\rfloor}ij$可以用分配率拆开，可以 $O(1)$算出。

为了方便，定义函数 $S(n)=\sum_{i=1}^ni=\frac{n(n+1)}{2}$

继续推式子：

$\begin{aligned} Ans=&\sum_{d=1}^{\min(n,m)}d\cdot S(\lfloor\frac{n}d\rfloor)S(\lfloor\frac{m}d\rfloor)\sum_{t \mid gcd(i,j),i\leq \lfloor\frac{n}d\rfloor,j\leq \lfloor\frac{m}d\rfloor}\mu(t)\\ =&\sum_{d=1}^{\min(n,m)}d \cdot \sum_{t=1}^{\lfloor\frac{\min(n,m)}{d}\rfloor}t^2\mu(t)\cdot S(\lfloor\frac{n}{dt}\rfloor)S(\lfloor\frac{m}{dt}\rfloor)\\ =&\sum_{T=1}^{\min(n,m)}S(\lfloor\frac{n}T\rfloor)S(\lfloor\frac{m}T\rfloor)T\sum_{d\mid T}d\mu(d) \end{aligned}$

前面的已经可以O(1)求了，后面的这个东西看上去不是很好办： $T\sum_{d\mid T}d\mu(d)$

令 $F(T)=\sum_{d\mid T}d\mu(d)$

其实 $F$可以在线性筛的时候一起处理出来。

首先 $F(1)=1$

对于 $p\in\mathbb P,F(p)=1-p$

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对于 $p\in\mathbb P,a\in \mathbb N_*,p\nmid a,F(ap)=F(a)F(p)$

对于 $p\in \mathbb P,a\in \mathbb N_*,p\mid a,F(ap)=F(a)$

这个通过新增一个质因子会产生的新的因子的贡献就可以看出了。

其实 $F$就是一个积性函数，这里就不证了。通过构造 $F(ab)$和 $F(a)\times F(b)$的每一项的一一对应就行了。

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代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define re register
#define gc get_char
#define pc put_char
#define cs const

cs int P=10000007;
cs ll mod=20101009,inv2=mod-mod/2;
bool mark[P];
int prime[P],pcnt,F[P];

inline void linear_sieves(int len=P-7){
	F[1]=1;
	for(int re i=2;i<=len;++i){
		if(!mark[i])prime[++pcnt]=i,F[i]=1-i;
		for(int re j=1;i*prime[j]<=len;++j){
			mark[i*prime[j]]=true;
			if(i%prime[j]==0){F[i*prime[j]]=F[i];break;}
			F[i*prime[j]]=F[i]*(1-prime[j]);
		}
		F[i]=((ll)i*F[i]%mod+F[i-1]+mod)%mod;
	}
}

inline ll S(cs ll m){
	return m*(m+1)%mod*inv2%mod;
}

int n,m;
ll ans;
signed main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	if(n>m)swap(n,m);
	linear_sieves(n);
	for(int re i=1,j;i<=n;i=j+1){
		j=min(n/(n/i),m/(m/i));
		ans=(ans+S(n/i)*S(m/i)%mod*(F[j]-F[i-1]+mod)%mod)%mod;
	}
	cout<<ans;
	return 0;
}