[SDOI2017]数字表格 （莫比乌斯反演）

链接：https://ac.nowcoder.com/acm/problem/20391
来源：牛客网

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64bit IO Format: %lld

题目描述

Doris刚刚学习了fibonacci数列。用f[i]表示数列的第i项，那么 f[0]=0 f[1]=1 f[n]=f[n-1]+f[n-2],n ≥ 2 

Doris用老师的超级计算机生成了一个n×m的表格，第i行第j列的格子中的数是f[gcd(i,j)]，其中gcd(i,j)表示i, j的最大公约数。

Doris的表格中共有n×m个数，她想知道这些数的乘积是多少。答案对10^9+7取模。

输入描述:

有多组测试数据。第一个一个数T，表示数据组数。
接下来T行，每行两个数n,m
T ≤ 1000,1 ≤ n,m ≤ 10^6

输出描述:

输出T行，第i行的数是第i组数据的结果

示例1

输入

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3
2 3
4 5
6 7

输出

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1
6
960

解题思路：

然后预处理出括号里前缀就可以了

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=1e6+7;
const int mod=1e9+7;
int n,m,tot,prime[maxn],mu[maxn];
ll sum[maxn],f[maxn],g[maxn];
ll qpow(ll a,ll b){
    ll res=1;
    while(b){
        if(b&1) res=res*a%mod;
        a=a*a%mod;
        b>>=1;
    }
    return res;
}
void getMobius(int N){
    for(int i=1;i<=N;i++) prime[i]=1;
    mu[1]=1; f[1]=1; g[1]=1; sum[0]=sum[1]=1;
    for(int i=2;i<=N;i++){
        f[i]=(f[i-2]+f[i-1])%mod;
        g[i]=qpow(f[i],mod-2);
        sum[i]=1;
        if(prime[i]){
            mu[i]=-1;
            prime[tot++]=i;
        }
        for(int j=0;j<tot&&i*prime[j]<=N;j++){
            prime[i*prime[j]]=0;
            if(i%prime[j]==0){
                mu[i*prime[j]]=0;
                break;
            }
            mu[i*prime[j]]=-mu[i];
        }
    }
    for(int i=1;i<=N;i++){  //预处理前缀
        for(int j=i;j<=N;j+=i){
            if(mu[j/i]==0)continue;
            if(mu[j/i]==1) sum[j]=sum[j]*f[i]%mod;
            else sum[j]=sum[j]*g[i]%mod;
        }
    }
    for(int i=1;i<=N;i++) sum[i]=sum[i]*sum[i-1]%mod;
}
ll solve(int a,int b){
    ll res=1;
    if(a>b) swap(a,b);
    for(int l=1,r;l<=a;l=r+1){
        r=min(a/(a/l),b/(b/l));
        ll inv=sum[r]*qpow(sum[l-1],mod-2)%mod;  //注意除sum[l-1],需要转化成乘它对mod的逆元
        res=res*qpow(inv,1ll*(a/l)*(b/l)%(mod-1))%mod;
    }
    return res;
}
int main(){
    int T;
    scanf("%d",&T);
    getMobius(1e6);
    while(T--){
        scanf("%d%d",&n,&m);
        printf("%lld\n",solve(n,m));
    }
    return 0;
}