[BZOJ2154]Crash的数字表格

题目背景

提示：原 P1829 半数集问题已经迁移至 P1028 数的计算

题目描述

今天的数学课上，Crash小朋友学习了最小公倍数(Least Common Multiple)。对于两个正整数a和b，LCM(a, b)表示能同时整除a和b的最小正整数。例如，LCM(6, 8) = 24。

回到家后，Crash还在想着课上学的东西，为了研究最小公倍数，他画了一张N*M的表格。每个格子里写了一个数字，其中第i行第j列的那个格子里写着数为LCM(i, j)。一个4*5的表格如下：

1    2    3    4    5 2 2 6 4 10 3 6 3 12 15 4 4 12 4 20

看着这个表格，Crash想到了很多可以思考的问题。不过他最想解决的问题却是一个十分简单的问题：这个表格中所有数的和是多少。当N和M很大时，Crash就束手无策了，因此他找到了聪明的你用程序帮他解决这个问题。由于最终结果可能会很大，Crash只想知道表格里所有数的和mod20101009的值。

输入输出格式

输入格式：

输入的第一行包含两个正整数，分别表示N和M。

输出格式：

输出一个正整数，表示表格中所有数的和mod20101009的值。

输入输出样例

输入样例#1：复制

4 5

输出样例#1：复制

说明

30%的数据满足N, M≤ 10^3。

70%的数据满足N, M≤ 10^5。

100%的数据满足N, M≤ 10^7。

很神的一道题。。听说反演是人类最大的本能然而我不会

公式自然还是不会写

不过我发现以后可以用手机拍公式QAQ

先贴上代码：

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cstring>
 4 #define mod 20101009
 5 #define M 10000010
 6 #define ll long long
 7 #define int long long
 8 using namespace std;
 9 int n,m,tot;
10 ll P[M],mul[M],pre[M];
11 bool vis[M];
12 ll ans;
13 void get_mul()
14 {
15     mul[1]=1;
16     for(int i=2;i<=n;i++)
17     {
18         if(!vis[i]) P[++tot]=i,mul[i]=-1;
19         for(int j=1;j<=tot&&P[j]*i<=n;j++)
20         {
21             vis[P[j]*i]=true;
22             if(i%P[j]==0)
23             {
24                 mul[P[j]*i]=0;
25                 break;
26             }
27             else mul[P[j]*i]=-mul[i];
28         }
29     }
30 }
31 ll cal(int x,int y)
32 {
33     ll ans=0;
34     for(int l=1,r;l<=x;l=r+1)
35     {
36         r=min(x/(x/l),y/(y/l));
37         ll sum=(ll)((1+x/l)*(x/l)/2%mod)*(ll)((1+y/l)*(y/l)/2%mod)%mod;
38         ans+=(ll)(pre[r]-pre[l-1])%mod*sum%mod;
39         ans%=mod;
40     }
41     return (ans+mod)%mod;
42 }
43 #undef int
44 int main()
45 {
46     #define int long long
47     scanf("%lld%lld",&n,&m);
48     get_mul();
49     if(n>m) swap(n,m);
50     for(int i=1;i<=n;i++) pre[i]=(pre[i-1]+(ll)i*i%mod*mul[i]%mod+mod)%mod;
51     for(int l=1,r;l<=n;l=r+1)
52     {
53         r=min(n/(n/l),m/(m/l));
54         ll sum=(ll)(l+r)*(r-l+1)/2%mod;
55         ans=(ans+(ll)cal(n/l,m/l)*sum%mod)%mod;
56     }
57     printf("%lld",ans);
58     return 0;
59 }