反向传播算法 — Backpropagation

首先，我们以一个双层神经网络为例展示神经网络关于数据标签的计算过程（即前向传播）。

其中， $W^l$ 和 $b^l$ 分别表示第 $l$ 层神经元的权重参数和偏置项， $s^l = {W^l}^Ta^{l-1} + b^l$ 。 $g^l$ 表示第 $l$ 层神经元的激活函数，不同层可以选取不同的函数作为激活函数。 $a^l$ 表示第 $l$ 层神经元的输出。本例最终的输出 $a^2$ 即是该神经网络针对数据集 $X$ 计算得到的预测值 $\hat y$ 。

我们可以构建出本神经网络的成本函数 $J(\hat y)$ 。一个常见的方式是采用最小二乘法，使得残差最小化：

J (y ̂) = 1 m \sum i = 1 m (y i - y ̂ i) 2 = 1 m (Y - Y ̂) T (Y - Y ̂)

$J(\hat y) = \frac {1}{m} \sum\limits_{i=1}^{m}(y_i - \hat y_i)^2 = \frac {1}{m} (Y - \hat Y)^T(Y - \hat Y)$
我们以上图为例，将每层神经元的计算过程以数学公式表示：

{s 1 = W 1 a 0 + b 1 a 1 = g 1 (s 1) {s 2 = W 2 a 1 + b 2 a 2 = g 2 (s 2)

$\begin{cases} s^1 = W^1a^0 + b^1 \\ a^1 = g^1(s^1) \end{cases} \\ \begin{cases} s^2 = W^2a^1 + b^2 \\ a^2 = g^2(s^2) \end{cases}$
然后，我们来扩展成本函数

J(ŷ ) $J(\hat y)$ ：

J (y ̂) = J (a 2) = J [g 2 (s 2)] = J [g 2 (W 2 a 1 + b 2)] = J {g 2 [W 2 g 1 (W 1 a 0 + b 1) + b 2]} = J {g 2 [W 2 g 1 (W 1 X + b 1) + b 2]}

$\begin{align*} & J(\hat y) = J(a^2) = J[g^2(s^2)] = J[g^2(W^2a^1 + b^2)] = J\{g^2[W^2g^1(W^1a^0 +b^1) + b^2]\} \\ & = J\{g^2[W^2g^1(W^1X +b^1) + b^2]\} \end{align*}$
为易于观察，对于不同函数

J,g2,g1 $J, g^2, g^1$ ，上式采用了不同的括号。上式即嵌套的函数：

J(ŷ )=J(g2(g1(X))) $J(\hat y) = J(g^2(g^1(X)))$ 。因此，使得成本函数

J(ŷ ) $J(\hat y)$ 最小化，我们可以使用梯度下降法得到此例中的自变量

W1,W2,b1 $W^1, W^2, b^1$ 和

b2 $b^2$ ：

{W 2 = W 2 - α ▽ J (W 2) b 2 = b 2 - α ▽ J (b 2) {W 1 = W 1 - α ▽ J (W 1) b 1 = b 1 - α ▽ J (b 1)

$\begin{cases} W^2 = W^2 -\alpha \bigtriangledown J(W^2) \\ b^2 = b^2 -\alpha \bigtriangledown J(b^2) \end{cases} \\ \begin{cases} W^1 = W^1 -\alpha \bigtriangledown J(W^1) \\ b^1 = b^1 -\alpha \bigtriangledown J(b^1) \end{cases}$
通用的更新公式为：

W l = W l - α ▽ J (W l) b l = b l - α ▽ J (b l)

$W^l = W^l -\alpha \bigtriangledown J(W^l) \\ b^l = b^l -\alpha \bigtriangledown J(b^l)$
上式便是神经网络的反向传播算法，即其学习策略。下面我将继续以文章开始处的例子详细解释反向传播算法。

其中， $dW^l$ 和 $db^l$ 分别表示成本函数 $J$ 对于 $W^l$ 和 $b^l$ 的偏导数， $ds^1$ 亦是如此。我们可以先计算一下 $W^2$ 和 $b^2$ 的更新公式（因为它们离成本函数最近，偏导的计算量最小）：

{W 2 = W 2 - α ▽ J (W 2) b 2 = b 2 - α ▽ J (b 2)

$\begin{cases} W^2 = W^2 -\alpha \bigtriangledown J(W^2) \\ b^2 = b^2 -\alpha \bigtriangledown J(b^2) \end{cases}$
其中，

▽J(W2)=∂J∂W2=dW2 $\bigtriangledown J(W^2) = \frac {\partial J}{\partial W^2} = dW^2$ ，

▽J(b2)=∂J∂b2=db2 $\bigtriangledown J(b^2) = \frac {\partial J}{\partial b^2} = db^2$ 。

d a 2 = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ d a 21 d a 22 ⋮ d a 2 l 2 ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ \partial J \partial a 2 1 \partial J \partial a 2 2 ⋮ \partial J \partial a 2 l 2 ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ - 2 m (y 1 i - a 2 1 i) - 2 m (y 2 i - a 2 2 i) ⋮ - 2 m (y l 2 i - a 2 l 2 i) ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

$da^2 = \begin{bmatrix} da^2_1 \\ da^2_2 \\ \vdots \\ da^2_{l_2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac {\partial J}{\partial a^2_1} \\ \frac {\partial J}{\partial a^2_2} \\ \vdots \\ \frac {\partial J}{\partial a^2_{l_2}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} - \frac {2}{m}(y_{1i} - a^2_{1i}) \\ - \frac {2}{m}(y_{2i} - a^2_{2i}) \\ \vdots \\ - \frac {2}{m}(y_{{l_2}i} - a^2_{{l_2}i}) \end{bmatrix}$
其中，

l2 $l_2$ 表示神经网络第2层的神经元数目，

J=1m∑i=1m(yi−ŷ i)2 $J = \frac {1}{m} \sum\limits_{i=1}^{m}(y_i - \hat y_i)^2$ 。

d s 2 = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ d s 21 d s 22 ⋮ d s 2 l 2 ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ d a 21 g 2' (s 21) d a 22 g 2' (s 22) ⋮ d a 2 l 2 g 2' (s 2 l 2) ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ g 2' (s 21) 0 ⋮ 0 0 g 2' (s 22) 0 \dots \dots \dots 00 g 2' (s 2 l 2) ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ d a 21 d a 22 ⋮ d a 2 l 2 ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ g 2' (s 21) 0 ⋮ 0 0 g 2' (s 22) 0 \dots \dots \dots 00 g 2' (s 2 l 2) ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ d a 2

$ds^2 = \begin{bmatrix} ds^2_1 \\ ds^2_2 \\ \vdots \\ ds^2_{l_2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} da^2_1g^{2\prime}(s^2_1) \\ da^2_2g^{2\prime}(s^2_2) \\ \vdots \\ da^2_{l_2}g^{2\prime}(s^2_{l_2}) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} g^{2\prime}(s^2_1) & 0 & \dots & 0 \\ 0 & g^{2\prime}(s^2_2) & \dots & 0 \\ \vdots \\ 0 & 0 &\dots & g^{2\prime}(s^2_{l_2}) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} da^2_1 \\ da^2_2 \\ \vdots \\ da^2_{l_2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} g^{2\prime}(s^2_1) & 0 & \dots & 0 \\ 0 & g^{2\prime}(s^2_2) & \dots & 0 \\ \vdots \\ 0 & 0 &\dots & g^{2\prime}(s^2_{l_2}) \end{bmatrix} da^2$
然后，求

dW2 $dW^2$ 和

db2 $db^2$ ：

d W 2 = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ d w 211 d w 221 ⋮ d w 2 l 2 1 d w 212 d w 222 d w 2 l 2 2 \dots \dots \dots d w 2 1 l 1 d w 2 2 l 1 d w 2 l 2 l 1 ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ d s 21 a 11 d s 22 a 11 ⋮ d s 2 l 2 a 11 d s 21 a 12 d s 22 a 12 d s 2 l 2 a 12 \dots \dots \dots d s 21 a 1 l 1 d s 22 a 1 l 1 d s 2 l 2 a 1 l 1 ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ d s 21 d s 22 ⋮ d s 2 l 2 ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ [a 11 a 12 \dots a 1 l 1] = d s 2 a 1 T

$dW^2 = \begin{bmatrix} dw^2_{11} & dw^2_{12} & \dots & dw^2_{1l_1} \\ dw^2_{21} & dw^2_{22} & \dots & dw^2_{2l_1} \\ \vdots \\ dw^2_{l_21} & dw^2_{l_22} & \dots & dw^2_{l_2l_1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ds^2_1a^1_1 & ds^2_1a^1_2 & \dots & ds^2_1a^1_{l_1} \\ ds^2_2a^1_1 & ds^2_2a^1_2 & \dots & ds^2_2a^1_{l_1} \\ \vdots \\ ds^2_{l_2}a^1_1 & ds^2_{l_2}a^1_2 & \dots & ds^2_{l_2}a^1_{l_1} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ds^2_1 \\ ds^2_2 \\ \vdots \\ ds^2_{l_2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a^1_1 & a^1_2 & \dots & a^1_{l_1} \end{bmatrix} = ds^2{a^1}^T$

d b 2 = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ d b 21 d b 22 ⋮ d b 2 l 2 ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ d s 21 d s 22 ⋮ d s 2 l 2 ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ = d s 2

$db^2 = \begin{bmatrix} db^2_1 \\ db^2_2 \\ \vdots \\ db^2_{l_2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ds^2_1 \\ ds^2_2 \\ \vdots \\ ds^2_{l_2} \end{bmatrix} = ds^2$

对于 $W^1$ 和 $b^1$ 的更新公式：

{W 1 = W 1 - α ▽ J (W 1) b 1 = b 1 - α ▽ J (b 1)

$\begin{cases} W^1 = W^1 -\alpha \bigtriangledown J(W^1) \\ b^1 = b^1 -\alpha \bigtriangledown J(b^1) \end{cases}$
其中，

▽J(W1)=ds1a0T $\bigtriangledown J(W^1) = ds^1 {a^0}^T$ ，

▽J(b1)=ds1 $\bigtriangledown J(b^1) = ds^1$ （推导过程同上）。其中：

d s 1 = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ g 1' (s 11) 0 ⋮ 0 0 g 1' (s 12) 0 \dots \dots \dots 00 g 1' (s 1 l 1) ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ d a 1

$ds^1 = \begin{bmatrix} g^{1\prime}(s^1_1) & 0 & \dots & 0 \\ 0 & g^{1\prime}(s^1_2) & \dots & 0 \\ \vdots \\ 0 & 0 &\dots & g^{1\prime}(s^1_{l_1}) \end{bmatrix} da^1$

d a 1 = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ d a 11 d a 12 ⋮ d a 1 l 1 ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ d s 2 T [w 211 w 221 \dots w 2 l 2 1] T d s 2 T [w 212 w 222 \dots w 2 l 2 2] T ⋮ d s 2 T [w 2 1 l 1 w 2 2 l 1 \dots w 2 l 2 l 1] T ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ = W 2 T d s 2

$da^1 = \begin{bmatrix} da^1_1 \\ da^1_2 \\ \vdots \\ da^1_{l_1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} {ds^2}^T \begin{bmatrix} w^2_{11} & w^2_{21} & \dots & w^2_{l_21}\end{bmatrix}^T \\ {ds^2}^T \begin{bmatrix} w^2_{12} & w^2_{22} & \dots & w^2_{l_22}\end{bmatrix}^T \\ \vdots \\ {ds^2}^T \begin{bmatrix} w^2_{1l_1} & w^2_{2l_1} & \dots & w^2_{l_2l_1}\end{bmatrix}^T \end{bmatrix} = {W^2}^Tds^2$

因此，根据链式规则可得更为通用的公式：

d s l = g l' (s l) W l + 1 T d s l + 1 d s l a s t = g l a s t' (s l a s t) \partial J \partial a l a s t

$ds^l = g^{l\prime}(s^l){W^{l+1}}^Tds^{l+1} \\ ds^{last} = g^{last\prime}(s^{last}) \frac {\partial J}{\partial a^{last}}$

最后，我将本例的前向传播和反向传播的图示结合起来，并给出完整的反向传播更新公式。

{W l = W l - α ▽ J (W l) = W l - α d s l a l - 1 T b l = b l - α ▽ J (b l) = b l - α d s l {d s l = g l' (s l) W l + 1 T d s l + 1 d s l a s t = g l a s t' (s l a s t) \partial J \partial a l a s t

$\begin{align*} & \begin{cases} W^l = W^l -\alpha \bigtriangledown J(W^l) = W^l - \alpha ds^l {a^{l-1}}^T\\ b^l = b^l -\alpha \bigtriangledown J(b^l) = b^l - \alpha ds^l \end{cases} \\ & \begin{cases} ds^l = g^{l\prime}(s^l){W^{l+1}}^Tds^{l+1} \\ ds^{last} = g^{last\prime}(s^{last}) \frac {\partial J}{\partial a^{last}} \end{cases} \end{align*}$

反向传播算法 — Backpropagation

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