梅森素数（C语言求解）

梅森数（Mersenne Prime）指的是形如 $2^{n}-1$ 的正整数，其中指数 n 是素数，即为 $M_{n}$ 。如果一个梅森数是素数，则称其为梅森素数。例如 $2^{2}-1=3$ 、 $2^{3}-1=7$ 都是梅森素数。

当n=2，3，5，7时， $M_{n}$ 都是素数，但n=11时， $M_{n}=M_{11}=2^{11}-1=2047=23X89$ ，显然不是梅森素数。

1722年，瑞士数学大师欧拉证明了 $2^{31}-1=2147483647$ 是一个素数，它共有 10 位数，成为当时世界上已知的最大素数。

迄今为止，人类仅发现了 47 个梅森素数。梅森素数历来都是数论研究中的一项重要内容，也是当今科学探索中的热点和难点问题。

试求出指数 n<20 的所有梅森素数。

问题分析

要编程求解的问题是找出指数 n<20 的所有梅森素数。根据梅森素数的定义，我们可以先求出n<20的所有梅森数，再逐一判断这些数是否为素数。如果是素数，则表示该数为梅森素数，打印输出即可；否则不是梅森素数。

算法设计

要求出 n<20 的所有梅森数，因此在本题的算法设计中需要釆用循环结构。

设变量 mp 存储梅森数，整数i表示指数，其取值从2〜19，i 每变化一次，都相应的计算出一个梅森数，存放在 mp 中。对每次计算得到的当前 mp 值，都调用函数 prime() 进行判断。

在判断mp是否为素数时，可以定义一个函数prime()，每次都将mp的当前值作为实参传递给函数prime()，并判断是否为素数。如果n为素数，则prime()函数返回值为1，否则prime()函数返回值为0。

若prime()函数返回值为1，则当前mp为梅森素数，应该将其输出；若prime()函数返回值为0，则当前mp不是梅森素数。

程序流程图：

下面是完整的代码：

#include <math.h>

#include <stdio.h>

int prime(int n)
{
    inti;

    longk;

    k=sqrt(n)+1;

    for(i=2;i<=k; i++)

       if(n%i == 0)

           return 0;

    return1;
}

int main()
{
    intmp, n=0, i;

    printf("MersennePrime:\n");

    for(i=2;i<=20; i++)
    {
       mp=pow(2,i)-1;

       if( prime(mp) )
       {
           n++;

           printf("M(%d)=%d",i, mp);

           printf("\n");
       }
    }
    printf("thenumber of Mersenne Prime less than 20 is:%d\n", n);
    return0;
}

运行结果：
Mersenne Prime:
M(2)=3
M(3)=7
M(5)=31
M(7)=127
M(13)=8191
M(17)=131071
M(19)=524287
the number of Mersenne Prime less than 20 is:7

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