题目
1185
描述
把正整数N分解成M个正整数的和，即使M个数相同但顺序不同也认为是不同的方案，要求总方案数。如3=1+2跟3=2+1是两个不同的方案。
输入
第一行包含两个整数N和M。
输出
输出一个数表示方案数。
样例
输入
3 2
输出
2
数据范围
1<=M<=N<=50
1186
描述
把正整数N分解成M个非负整数的和，即使M个数相同但顺序不同也认为是不同的方案，要求总方案数。如3=1+2跟3=2+1是两个不同的方案。
输入
第一行输入两个整数。
输出
输出一个整数表示方案数。
样例
输入
2 3
输出
6
数据范围
1<=M<=N<=30
解法
1185
初看此题，数据范围不大，题较简单，于是，我打出了下面的程序：
#include<cstdio>
#include<cstring>
int dfs(int n,int m)
{
if(m==1)return 1;
if(m==n)return 1;
if(n<1)return 0;
int s=0;
for(int i=1;i<=n-m+1;i++)
s+=dfs(n-i,m-1);
return s;
}
int main()
{
int m,n;
scanf("%d %d",&n,&m);
printf("%d\n",dfs(n,m));
return 0;
}但是你输入下面一组数据试试：
50 20
等了很久，很久很久。。。。。。
终于程序没有给出答案：
P.S.这时，电脑似乎炸了，你什么也做不了，只有等。。。。。。
不信你试试。
我们只有换换思路了。
首先，int肯定是装不下的，所以，我们要使用long long。
其次，普通的dfs是承受不了如此巨大的计算量的，我们要对它升级——记忆化搜索。
最后，我们再将记忆化搜索升级——DP
我们先对dfs进行改造：
#include<cstdio>
long long dfs(int n,int m)
{
if(m==1)return 1;
if(m==n)return 1;
if(n<1)return 0;
long long s=0;
for(int i=1;i<=n-m+1;i++)
s+=dfs(n-i,m-1);
return s;
}
int main()
{
int m,n;
scanf("%d %d",&n,&m);
printf("%I64d\n",dfs(n,m));
return 0;
}dfs改造成功。
现在我们来做记忆化搜索。
不知道大家发现没有，dfs在计算中其实许多计算是重复的，所以，我们就可以使用一个二维数组来记录已经计算的结果，再在搜索时调用，就可以实现每个状态只计算一次。
代码如下：
#include<cstdio>
const long long M=52;
long long dp[M][M];
long long dfs(long long n,long long m)
{
if(m==1)return dp[n][m]=1;
if(m==n)return dp[n][m]=1;
if(n<1)return 0;
if(dp[n][m])return dp[n][m];
long long s=0;
for(int i=1;i<=n-m+1;i++)
s+=dfs(n-i,m-1);
return dp[n][m]=s;
}
int main()
{
int m,n;
scanf("%d %d",&n,&m);
printf("%I64d\n",dfs(n,m));
return 0;
}最后，我们来做DP。
DP也和记忆化搜索一样，用一个二维数组来记录已经计算的结果，但它与记忆化搜索也有不同。
我们先根据之前两个程序的经验得出状态转移方程，请读者自己总结。
由此，我们就可以得到这段核心代码：
for(int j=1;j<=m;j++)
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int k=1;k<i;k++)
{
if(j==1){dp[i][j]=1;continue;}
if(i==j){dp[i][j]=1;continue;}
dp[i][j]+=dp[i-k][j-1];
}最后，我们再加上其他部分就成为了一个完整的AC程序。
代码如下：
dfs：
#include<cstdio>
long long dfs(int n,int m)
{
if(m==1)return 1;
if(m==n)return 1;
if(n<1)return 0;
long long s=0;
for(int i=1;i<=n-m+1;i++)
s+=dfs(n-i,m-1);
return s;
}
int main()
{
int m,n;
scanf("%d %d",&n,&m);
printf("%I64d\n",dfs(n,m));
return 0;
}记忆化搜索：
#include<cstdio>
const long long M=52;
long long dp[M][M];
long long dfs(long long n,long long m)
{
if(m==1)return dp[n][m]=1;
if(m==n)return dp[n][m]=1;
if(n<1)return 0;
if(dp[n][m])return dp[n][m];
long long s=0;
for(int i=1;i<=n-m+1;i++)
s+=dfs(n-i,m-1);
return dp[n][m]=s;
}
int main()
{
int m,n;
scanf("%d %d",&n,&m);
printf("%I64d\n",dfs(n,m));
return 0;
}DP:
#include<cstdio>
const int M=52;
long long dp[M][M];
int main()
{
int m,n;
scanf("%d %d",&n,&m);
dp[1][1]=1;
for(int j=1;j<=m;j++)
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int k=1;k<i;k++)
{
if(j==1||i==j){dp[i][j]=1;continue;}
dp[i][j]+=dp[i-k][j-1];
}
printf("%I64d",dp[n][m]);
return 0;
}P.S.如果你将dp数组打出来，你会发现这就是杨辉三角（不知道的同学点这里：杨辉三角）
1186
这题和上一题很相似，但是它可以分出0来，所以，我们的边界就要改变：
1.当m==n时，就不只有一种分法了，所以这个条件删去；
2.n==1时，还可以分，所以这个条件应该为n==0；
3.m==1时，不可以分了，所以这个条件保留。
其余同上。
同上。
首先，还是dfs：
#include<cstdio>
long long dfs(int n,int m)
{
if(n==0||m==1)return 1;
return dfs(n-1,m)+dfs(n,m-1);
}
int main()
{
int m,n;
scanf("%d %d",&n,&m);
printf("%I64d\n",dfs(n,m));
return 0;
}记忆化搜索同上题做法：
#include<cstdio>
const int M=32;
long long dp[M][M];
long long dfs(int n,int m)
{
if(n==0||m==1)return 1;
if(dp[n][m])return dp[n][m];
return dp[n][m]=dfs(n-1,m)+dfs(n,m-1);
}
int main()
{
int m,n;
scanf("%d %d",&n,&m);
printf("%I64d\n",dfs(n,m));
return 0;
}P.S.如果你将此时的dp数组打出来，你就会发现，这又是一个杨辉三角（只不过旋转了45度而已）。
我们又能得出递推式（就是算杨辉三角的那个）
递推：
for(int i=1;i<=n+1;i++)
for(int j=1;j<=m+1;j++)
dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1];顺便说一句，不要忘了初始化！
代码如下：
dfs：
#include<cstdio>
long long dfs(int n,int m)
{
if(n==0||m==1)return 1;
return dfs(n-1,m)+dfs(n,m-1);
}
int main()
{
int m,n;
scanf("%d %d",&n,&m);
printf("%I64d\n",dfs(n,m));
return 0;
}记忆化搜索：
#include<cstdio>
const int M=32;
long long dp[M][M];
long long dfs(int n,int m)
{
if(n==0||m==1)return 1;
if(dp[n][m])return dp[n][m];
return dp[n][m]=dfs(n-1,m)+dfs(n,m-1);
}
int main()
{
int m,n;
scanf("%d %d",&n,&m);
printf("%I64d\n",dfs(n,m));
return 0;
}dp：
#include<cstdio>
const int M=52;
long long dp[M][M];
int main()
{
int m,n;
scanf("%d %d",&n,&m);
for(int i=0;i<=M;i++)
dp[1][i]=dp[i][0]=1;
for(int i=1;i<=n+1;i++)
for(int j=1;j<=m+1;j++)
dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1];
printf("%I64d\n",dp[n+1][m-1]);
return 0;
}最后弱弱地说一句：
如果你想抄程序去CCF上交，请一定记得把输出的“%I64d”改成“%lld”,这6个程序是我在Windows XP系统下做的（如果你在Windows较高版本的系统中，“%lld”或许能过），“%lld”无法编译成功，而评测系统是Linux的，只有“%lld”，你一定要记住！