数的划分（dfs，dp）

任意门

[NOIP2001 提高组] 数的划分

题目描述

将整数 $n$ 分成 $k$ 份，且每份不能为空，任意两个方案不相同（不考虑顺序）。

例如：$n=7$，$k=3$，下面三种分法被认为是相同的。

$1,1,5$;
$1,5,1$;
$5,1,1$.

问有多少种不同的分法。

输入格式

$n,k$ （$6<n\le 200$，$2\le k\le 6$）

输出格式

$1$ 个整数，即不同的分法。

样例 #1

样例输入 #1

7 3

样例输出 #1

4

提示

四种分法为：
$1,1,5$;
$1,2,4$;
$1,3,3$;
$2,2,3$.

【题目来源】

NOIP 2001 提高组第二题

这一道题很简单，就是思想

写法一：dfs
虽然dfs没有dp快，但是这一题数据量很小，在比赛的时候如果dp和dfs都能过，最好还是用dfs，代码好写方便改错

这里因为要考虑到不重复，所以可以按升序记录每一次划分：记录上一次划分所用的数，保证当前划分所用数不小于上次划分所用分数，当划分次数等于k时比较该次划分所得总分是否与n相同并记录次数。

有一个不得不做的剪枝就是枚举当前划分所用分数时应该从last(上次划分所用分数)枚举到sum+i*(k-cur)<=n为止，因为之后划分的分数一定大于或等于当前划分所用分数。

#include<cstdio>

int n,k,cnt;

void dfs(int last,int sum,int cur)
{
    
    
    if(cur==k)
    {
    
    
        if(sum==n) cnt++;
        return;
    }
    for(int i=last;sum+i*(k-cur)<=n;i++)//剪枝，只用枚举到sum+i*(k-cur)<=n为止
        dfs(i,sum+i,cur+1);
}

int main()
{
    
    
    scanf("%d%d",&n,&k);
    dfs(1,0,0);
    printf("%d",cnt);
}

写法二：dp

solution【i】【j】代表在数的和为i的情况下分为j组共有的情况数。

由于无论在数的和为几时，把它们分成0组都是0种情况，分成一组都是一种情况，

所以j=0时全部要初始化为0，j=1时全部要初始化为1。

同时，无论共分为几组，数的和为0和1是0种情况（i=j=1除外）

所以i=0或i=1时j从2开始全部初始化为0。

对于剩下的任意一个solution【i】【j】，都可以用如下方式求得：

solution【i】【j】=第一个数为1的所有情况+第一个数不为1的所有情况。

第一个数为1时，1占用了1个位置和占用了总数中的1是已经确定了的，

因此，第一个数为1的所有情况=solution【i-1】【j-1】。

第一个数不为1时，可以视为先在所有的位置上都加上一个1再对于所有的位置用新的总数求次数，

所以定了的是占有了总数j个，位置仍然是j个，与原来相比没有变化。

因此，第一个数不为1的所有情况=solution【i-j】【j】。

所以solution【i】【j】=solution【i-1】【j-1】+solution【i-j】【j】。

 #include<cstdio>
        using namespace std;
        int main()
        {
    
    
            int solution[205][10];
            int n,k,i,j;
            scanf("%d %d",&n,&k);
            for(i=1;i<=n;i++)
            {
    
    
                solution[i][1]=1;
                solution[i][0]=0;
            }
            for(i=2;i<=k;i++)
            {
    
    
                solution[1][i]=0;
                solution[0][i]=0;
            }
            for(i=2;i<=n;i++)
                for(j=2;j<=k;j++)
                    if(j>i)
                        solution[i][j]=0;
                    else
                        solution[i][j]=solution[i-1][j-1]+solution[i-j][j];
            printf("%d",solution[n][k]);
            return 0;    
}