基础数论概念

基础数论概念

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首先我们来回顾一下基础数论中关于整数集Z={…，-2，-1，0，1，2，…}和自然数集N={0，1，2，3，4，…}的一些概念。

整除性与约数

一个整数可以被另一个整数整除是数论中的一个关键概念。符号 $d|a$（读作“d整除a”）的含义是，存在摸个数k，使得a=kd。任何整数均可整除0。如果a>0且d|a，那么|d|<=|a|。如果d|a，则称a是d的倍数。如果d不能整除a，则写作da。

如果d|a且d>=0，则称d是a的约数。注意，$d|a$当且仅当$-d|a$，即a的任何约数的负数同样可以整除a。因此，不失一般性，可规定约数为非负数。非零整数a的约数应至少为1，且不会大于|a|。例如，24的约数是1，2，3，4，6，8，12和24。

任何正整数a均可被平凡约数 1和其自身a所整除。整数a的非平凡约数称为a的因子。例如，20的因子是2，4，5和10。

素数与合数

如果一个数a>1且只能被平凡约数1和它自身所除，则这个数是素数。素数游戏的特殊的性质。它在数论中也扮演着十分重要的角色。前20个素数按序排列如下：
2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71

如果一个整数a>1且不是素数，则称之为合数。例如，39是一个合数，因为3|39。称整数1是基本单位，并且它既不是素数也不是合数。同样，整数0和所有负整数既不是素数也不是合数。

除法定理、余数和等模

给定一个整数n，我们可以将整数集划分成n的倍数和非n倍数两部分。通过计算非n的倍数除以n的余数可以对非n倍数进行有效分类。而许多数论理论正是通过这种分类来改进对n的北方和非n倍数的划分。下面的定理给出该改进的理论基础。这里，我们忽略了其证明。

定理1（除法定理）：

$$对于任何整数a和任何正整数n，存在唯一整数q和r，满足0<=r<n且a=qn+r。$$

称q=⌊a/n⌋为除法的商，值r=a mod n为除法的余数。n|a当且仅当a mod n=0。
根据整数模n的余数，我们可以将所有整数划分成n个等价类。包括整数a的模n等价类为

$$[a]n={a+kn:k\in Z}$$

例如，[3]7={…，-11，-4，3，10，17，…}，这个集合同时也可以表示为[-4]7和[10]7。$a\in [b]n$ 和a≡b(mod n)是等价的。所有这类等价类的集合是

$$Zn={[a]n:0<=a<=n-1}(1)$$

当读者看到

$$Zn={0，1，2，...，n-1}(2)$$ 这个定义时，按照式(1)理解即可：0代表[0]n，1代表[1]n，等等，即用每个等价类最小的非负元素来表示该等价类。然而，我们应该记着相应的等价类。例如，在我们说-1是Zn的一个元素时，实际上指的是[n-1]n，因为-1≡n-1(mod n)。

公约数与最大公约数

如果d是a的约数并且d也是b的约数，则d是a与b的公约数。例如，30的约数包括1、2、3、5、6、10、15、30，24的约数包括1、2、3、4、6、8、12、24，因此24与30的公约数为1、2、3和6。需要注意的是，1是任意两个整数的公约数。

公约数的一条重要的性质是：

$$d|a且d|b蕴含着d|(a+b)且d|(a-b)(3)$$

更一般的，对于任意整数x和y，有

$$d|a且d|b蕴含着d|(ax+by)(4)$$

并且，如果a|b，那么|a|<=|b|，或者b=0，这更说明

$$a|b且b|a蕴含着a=±b(5)$$

两个不同时为0的整数a与b的公约数中最大的称其为最大公约数，记作gcd(a，b)。例如，gcd(24，30)=6，gcd(5，7)=1，gcd(0，9)=0。如果a与b不同时为0，则gcd(a，b)是一个在1与min(|a|，|b|)之间的整数。定义gcd(0，0)=0，该定义是使gcd函数的基本性质（如下面的等式(9)）普遍诚意所必不可少的。
下列是gcd函数的基本性质：

$$gcd(a,b)=gcd(b,a)(6)$$ $$gcd(a,b)=gcd(-a,b)(7)$$ $$gcd(a,b)=gcd(|a|,|b|)(8)$$ $$gcd(a,0)=|a|(9)$$ $$gcd(a,ka)=|a| 对任意k\in Z (10)$$

下面的定理给出了gcd(a，b)的另外一个有用特征。
定理2：

$$如果任意整数a和b都不为0，则gcd(a，b)是a与b的线性组合集{ax+by:x,y\in Z} 中的最小正元素$$

证明:

未完待续……

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作者：zsjzliziyang
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