数论拓展gcd基础

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exgcd求解一般线性方程组ax+by=c

算法复杂度是 $O(log(a+b))$
其实等同于求解 $ax+by=Mgcd(a,b)$这个方程，首先看第一种情况

1.首先考虑ax+by=m,且m%gcd(x,y)!=0

这种情况下肯定无解,不作证明,证明比较简单

2.然后考虑 $ax+by=gcd(a,b)$

由于 $gcd(x,y)=gcd(y,x\%y)$ ,直到y=0此时返回x的值就等于 $gcd(x,y)$
(这是gcd最核心的难点理解)

$ax_1+by_1=gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)$
$=b*x_2+y_2*(a\%b)=b*x_2+y_2*(a-\lfloor a/b \rfloor$*b)

我们设a,b是未知量
则可以知道
$x_1=y_2;$
$y_1=x_2-\lfloor a/b \rfloor*y_2$

(这个叫递归算法核心?

3.考虑 $ax+by=M*gcd(a,b)$(M是非零整数)

其实就是先求解 $(a/M)x+(b/M)y=gcd(x,y)$的情况,得到的 $x_0*=M$
令 $gcd(a,b)=g$
解出的x解系还原回去

$最终解系 \begin{cases} x = {c\over g}x_0+k{b\over g}\\ y= {c\over g}y_0-k{a\over g} \end{cases}$

如果要求x的最小整数解的话，就要加一部对x的操作，具体见代码
如果要求对应的y的话，直接代回原方程即可

ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
//&必须写的原因是并不是x，y是作为一个地址在进行递归，所以需要取地址符
{
    if (b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    else
    {
        ll gcd=exgcd(b,a%b,y,x);
        y-=x*(a/b);
        return gcd;
    }
}
int main()
{
    a=;b=;c=;
    g=exgcd(a,b,x,y);//返回的是a,b的gcd
    if (c%g!=0) {cout<<"Impossible"<<endl;return 0;}
    //如果c不是gcd(a,b)的倍数的话,就无法求解,不作证明
    ll M=c/g;
    x*=M;
    ll t=b/g;
    if (b<0)b=-b;
    x=(x%t+t)%t;//根据解系求最小整数解，注意此时的b一定要是非负数
    WW(x);
    //如果要求y的话就根据原方程进行转化可得到
｝