本文链接： https://blog.csdn.net/w_udixixi/article/details/100691715

数论逆元基础

目录：
1.逆元的作用
2.逆元的定义
3.单个逆元的求法
4.多个逆元的求法

1.逆元的作用

先知道是干什么的，能解决什么问题
我所知道的数论题中常见的出现模运算
$(a+b)\%mod=(a\%mod+b\%mod)\%mod$
$(a*b)\%mod=(a\%mod*b\%mod)\%mod$

现在给出 $(3*6/3)mod 7$
第一种算法：原式= $(18/3)mod7$ =6;
第二种算法：原式= $((18mod7)/3)mod7=(4/3)mod7=1？×$

显然如果计算机处理的话结果肯定是1，也就是说除法不存在取模的运算法则，在某些时候就会产生数字太大精度错误等问题。

化除为乘是一个好的处理方法，记得以前做过一个题目，排序两个结构体使a/b的值大的排前面，如果写return $x_1.a/x_1.b>x_2.a/x_2.b$ 就会出错，但是写成return $x_1.a×x_2.b>x_1.b×x_2.a$ 就可以了。那么这里我们能不能找到一个整数X满足 $(4/3)mod7=(4*X)mod7$ 呢？如果可以的话就会把问题简化很多了

2.逆元的定义

如果 $ax\equiv 1$ $mod$ $p$ ，且 $gcd(a,p)=1$ ，称 $x$ 为 $a$ 关于模 $p$ 的乘法逆元

从这个定义可以看出，如果a,p不互质的话，也就不存在a关于模p的乘法逆元！

3.单个逆元的求法

（一）exgcd

由定义可知 $ax=py+1$ 移项可得
$ax+mp=1(a,p互质且已知)$
那么显然第一种求逆元的方法——exgcd求解方程 $ax+mp=1$ 的整数 $x$ 即为a关于模p的一个逆元（逆元数量不是唯一的）

每求一次逆元的复杂度是 $O(log(a+p))$

ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
    if (b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    ll gcd=exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=(a/b)*x;
    return gcd;
}
int main()
{
    ll g=exgcd(a,b,x,y);//注意输入时a,p对应a,b
    if (g!=1){NO;}
    ll t=b/1;
    if (t<0)t=-t;
    ll inv=(x%t+t)%t;
}

（二）费马小定理(证明跳过，不会 )

当p为素数的时候才可以用！！！！！

$a^{p-1}\equiv 1$ $mod$ $p$ ===> $a×a^{p-2}\equiv 1$ $mod$ $p$
这不就是定义吗，所以 $a^{p-2}$ 就是a模p意义下的逆元，快速幂求一次即可

每求一次逆元的复杂度是 $O(log(p-2))$ ，优于exgcd但局限于质数范围

ll qpow(ll a,ll b,ll mod)
{
    ll res=1;
    while(b)
    {
        if (b&1)res=(res*a)%mod;
        a=(a*a)%mod;
        b>>=1;
    }
    return res%mod;
}
int main()
{
    WW(qpow(a,p-2,p));
}

4.多个逆元的求法

线性递推算法

$inv[i]$ 表示i在模p意义下的逆元
主要用到递推式： $inv[i]=(p-p/i)*inv[p\%i]\%p$
大佬证明（本人菜鸡不会）：
设 $p=k*i+r$ ===> $k*i+r\equiv 0$ $mod$ $p$
两边同乘 $i^{-1}r^{-1}$ ,得到
$k*r^{-1}+i^{-1}\equiv 0$ $mod$ $p$
整理得到
$i^{-1}\equiv -\lfloor p/i \rfloor*(p\%i)^{-1}$ $mod$ $p$ ，证明完毕

由于这样求出来的 $inv[i]$ 可能是负数，根据性质
$a\equiv b$ $mod$ $m$
则 $a\equiv b+mk$ $mod$ $m$

对右边 $+p*inv[p\%i]$ ;

综上所述，代码如下：

int main()
{
    ll n,p;
    scanf("%lld%lld",&n,&p);
    inv[1]=1;
    rep(i,2,n)
    {
        inv[i]=(p-p/i)*inv[p%i]%p;
    }
    rep(i,1,n)WW(inv[i]);
}

欧拉函数求解
听说不常用，就先放一下……

5.例题

放一道差点错了的题

例题1：
洛谷P2613模板题

这就是最明显的直接套用逆元求解大数除法mod
用费马小定理也可以解……

/**
 *  Author1: low-equipped w_udixixi
 *  Author2: Sher丶lock
 *  Date :2019-09-10
 **/
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<string>
#include<vector>
#include<stack>
#include<bitset>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<set>
#include<list>
#include<deque>
#include<queue>
#include<map>
#define ll long long
#define pb push_back
#define rep(x,a,b) for (int x=a;x<=b;x++)
#define repp(x,a,b) for (int x=a;x<b;x++)
#define W(x) printf("%d\n",x)
#define WW(x) printf("%lld\n",x)
#define pi 3.14159265358979323846
#define mem(a,x) memset(a,x,sizeof a)
#define lson rt<<1,l,mid
#define rson rt<<1|1,mid+1,r
using namespace std;
const int maxn=2e6+7;
const int INF=1e9;
const ll INFF=1e18;
const ll MOD=19260817;
char s1[maxn];
char s2[maxn];
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
    if (b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    ll gcd=exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=x*(a/b);
    return gcd;
}
int main()
{
    ll a=0,b=0,x,y;
    cin>>s1>>s2;int l1=strlen(s1),l2=strlen(s2);
    rep(i,0,l1-1)
        a=(a*10+s1[i]-'0')%MOD;
    rep(i,0,l2-1)
        b=(b*10+s2[i]-'0')%MOD;
    ll g=exgcd(b,MOD,x,y);
    if (g!=1){cout<<"Angry!"<<endl;return 0;}
    ll t=MOD/1;
    if (t<0)t=-t;
    ll inv=(x%t+t)%t;
    ll ans=a*inv%MOD;
    WW(ans);
}

例题2
HDU1576

模板题（只会模板题的wudixixi）
直接套费马小定理求解

/**
 *  Author1: low-equipped w_udixixi
 *  Author2: Sher丶lock
 *  Date :2019-09-10
 **/
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<string>
#include<vector>
#include<stack>
#include<bitset>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<set>
#include<list>
#include<deque>
#include<queue>
#include<map>
#define ll long long
#define pb push_back
#define rep(x,a,b) for (int x=a;x<=b;x++)
#define repp(x,a,b) for (int x=a;x<b;x++)
#define W(x) printf("%d\n",x)
#define WW(x) printf("%lld\n",x)
#define pi 3.14159265358979323846
#define mem(a,x) memset(a,x,sizeof a)
#define lson rt<<1,l,mid
#define rson rt<<1|1,mid+1,r
using namespace std;
const int maxn=2e6+7;
const int INF=1e9;
const ll INFF=1e18;
ll qpow(ll a,ll b,ll mod)
{
    ll res=1;
    while(b)
    {
        if (b&1)res=(res*a)%mod;
        a=(a*a)%mod;
        b>>=1;
    }
    return res%mod;
}

int main()
{
    int t,a,b;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%d%d",&a,&b);
        int inv=qpow(b,9971,9973);
        W(a*inv%9973);
    }
    return 0;
}