1. 树到二叉树的转换
思考：通用树结构的实现太过复杂（树中每个结点都可以有任意多的孩子，具有多种形态），工程中很少会用到如此复杂的树是否可以简化呢？
思路：减少树结点中孩子的数量。但这样树是否还能通用呢？
1.1.树的两种表示法
双亲孩子表示法：
孩子兄弟表示法：
孩子兄弟表示法的特点：
1.能够表示任意的树形结构
2.每个结点包含一个数据成员和两个指针成员
3.孩子结点指针和兄弟结点指针构成“树杈”
2.2.二叉树
二叉树是由n(n>=0)个节点组成的有限集合，该集合或者为空，或者是由一个根结点加上两颗分别称为左子树和右子树的、互不相交的二叉树组成。
满二叉树：
如果二叉树中所有分支结点的度数都为2，且叶子结点都在同一层次上，则称这类二叉树为满二叉树。
完全二叉树：
如果一棵具有N个结点高度为K的二叉树，它的每一个结点与高度为K的满二叉树中编号1~n的结点一一对应，则称这颗二叉树为完全二叉树。（从上到下，从左到右编号）。
完全二叉树的特性：
同样结点的二叉树，完全二叉树的高度最小；完全二叉树的叶结点一定出现在最下面两层。
1.最底层的叶结点一定出现在左边；
2.倒数第二层的叶结点一定出现在右边；
3.完全二叉树中度数为1的结点只有左孩子。
总结：
1.通用树结构采用了双亲结点表示法进行描述；
2.孩子兄弟表示法也有能力描述任意类型的树结构；
3.孩子兄弟表示法能够将通用树转化为二叉树（最多有两个孩子）；
2.二叉树的深层特性
1.在二叉树的第i层最多有2^(i-1)个结点（i>=1）;
2.高度为K的二叉树最多有2^k - 1个结点（K>=0）;
3.对于任何一颗二叉树，如果其叶结点有n0个，度为2的非叶结点有n2个，则有n0 = n2 + 1;
推导证明：
- 假设二叉树中为1的结点有n1个，总结点数为n，则：n = n0 + n1 + n2;
- 假设二叉树中连接父子结点的边为e条，则： e = n1 + 2n2 (从上往下看，有一条边的结点+有两条边的结点)，同时从下往上看e = n-1(根结点之上没有与之相连的边)，故：
-
n1 + 2n2 = n-1 ==> n1 + 2n2 = n0 + n1 + n2 - 1 ==> n0 = n2 + 1
4.具有n个结点的完全二叉树的告诉为【log2N】 + 1 （【x】表示不大于x的最大整数）
5.
3.二叉树的存储结构设计
目标：完成二叉树和二叉树结点的存储设计；
设计要点：
1.BTree为二叉树，每个结点最多只有两个后继结点；
2.BTreeNode只包含4个固有的公有成员：（数据成员、指向左孩子和右孩子的指针、指向父节点的指针）
BTreeNode的设计
直接继承自抽象树结点，使用工厂模式(标识使用的堆空间，方便使用智能指针进行释放)。
template < typename T > class BTreeNode : public TreeNode<T> { public: BTreeNode<T>* left; BTreeNode<T>* right; static BTreeNode<T>* NewNode() { BTreeNode<T>* ret = new BTreeNode<T>(); if(ret != NULL) { ret->m_flag = true; //在堆空间中申请了结点，则将该标识置为true } return ret; } ~BTreeNode(){} };BTree的设计
继承自抽象树结构，并组合使用BTreeNode.
template < typename T > class BTree : public Tree<T> {
};
**二叉树的实现架构：**
# 4. 二叉树的常用操作
## 4.1 .二叉树的查找操作
**1.基于数据元素值的查找：**
BTreeNode<T>* find(const T& value) const
virtual BTreeNode<T>* find(BTreeNode<T>* node, const T& value) const
{
BTreeNode<T>* ret = NULL;
if(node != NULL) // 判断是否为空树
{
if(node->value == value) //比较根结点
{
ret = node;
}
else
{
if(ret == NULL)
{
//递归查找左子树
ret = find(node->m_left, value);
}
if(ret == NULL)
{
//递归查找右子树
ret = find(node->m_right, value);
}
}
}
return ret;
}
BTreeNode<T>* find(const T& value) const
{
return find(root(), value);
}**2.基于结点的查找：**
BTreeNode<T>* find(TreeNode<T>* node) const
 virtual BTreeNode<T>* find(BTreeNode<T>* node, BTreeNode<T>* obj) const
{
BTreeNode<T>* ret = NULL;
if(node != NULL) // 判断是否为空树
{
if(node == obj) //比较根结点
{
ret = node;
}
else
{
if(ret == NULL)
{
//递归查找左子树
ret = find(node->m_left, obj);
}
if(ret == NULL)
{
//递归查找右子树
ret = find(node->m_right, obj);
}
}
}
return ret;
}
BTreeNode<T>* find(TreeNode<T>* node) const
{
return find(root(), dynamic_cast<BTreeNode<T>*>(node));
}## 4.2.二叉树的插入操作
**思考：**是否能在二叉树的任意结点处插入子结点？
因为二叉树的定义中，每个结点最多只能有两个子结点，所以必然不能在任意结点处插入，因此需要制定新的数据元素(新结点)的插入位置。
二叉树结点的位置定义：enum BTreeNodePos
{
ANY,
LEFT,
RIGHT
};
**1.定义功能函数，指定位置的结点插入：**
`virtual bool insert(BTreeNode<T>* newnode, BTreeNode<T>* node, BTNodePos pos)`
virtual bool insert(BTreeNode<T>* n, BTreeNode<T>* np, BTreeNodePos pos)
{
bool ret = true;
//指定的插入位置为ANY(没有指定插入位置)
if(pos == ANY)
{
if(np->m_left == NULL) // 左子树结点为空，插入到左子树
{
np->m_left = n;
}
else if(np->m_right == NULL) // ...
{
np->m_right = n;
}
else
{
ret = false;
}
}
// 指定插入到左孩子结点
if(pos == LEFT)
{
if(np->m_left == NULL)
{
np->m_left = n;
}
else
{
ret = false;
}
}
// 指定插入到右孩子结点
if(pos == RIGHT)
{
if(np->m_right == NULL)
{
np->m_right = n;
}
else
{
ret = false;
}
}
return ret;
}**2.插入新结点**bool insert(TreeNode<T> node, BTreeNodePos pos)
bool insert(TreeNode<T> node)
 //插入结点，并指定位置
bool insert(TreeNode<T>* node, BTreeNodePos pos)
{
bool ret = true;
if(node != NULL)
{
if(root() == NULL) //判断根结点处是否可以插入
{
node->m_parent = NULL;
this->m_root = node;
}
else
{
BTreeNode<T>* np = find(node->m_parent); //查找父节点是否存在
if(np != NULL)
{
// 调用二叉树插入操作功能函数
ret = insert(dynamic_cast<BTreeNode<T>*>(node), np, pos);
}
else
{
THROW_EXCEPTION(InvaildParameterException, "invalid parent tree node...");
}
}
}
else
{
THROW_EXCEPTION(InvaildParameterException, "param con't be NULL...");
}
return ret;
}
//插入结点，无位置要求
bool insert(TreeNode<T>* node)
{
return insert(node, ANY);
}**3.插入数据元素 **bool insert(const T& value,TreeNode<T> parent, BTreeNodePos pos)
bool insert(const T& value,TreeNode<T> parent)
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//插入数据元素，指定位置
bool insert(const T& value,TreeNode<T>* parent, BTreeNodePos pos)
{
bool ret = true;
BTreeNode<T>* node = BTreeNode<T>::NewNode();
if(node != NULL)
{
node->value = value;
node->m_parent = parent;
insert(node, pos);
}
else
{
THROW_EXCEPTION(NoEnoughMemoryException, "no memory to create new tree node...");
}
return ret;
}
bool insert(const T& value,TreeNode<T>* parent)
{
return insert(value, parent, ANY);
}**测试技巧：**从叶结点到根结点为线性数据结构，可以使用链表的遍历方式。
**总结：**
1.二叉树的插入操作需要指明插入的位置；
2.插入操作必须正确处理指向父节点的指针
3.插入数据元素时需要从堆空间中创建结点，让数据元素插入失败时，需要释放结点空间。
## 4.3. 二叉树中结点的删除与清除
### 4.3.1.结点删除操作
**1.删除操作功能定义**
void remove(BTreeNode<T>* node, BTree<T>*& ret)
将node为根结点的子树从原来的二叉树中删除，ret作为子树返回(ret指向堆空间中的二叉树对象)
virtual void remove(BTreeNode<T>* node, BTree<T>*& ret)
{
ret = new BTree();
if(ret != NULL)
{
if(root() == node)
{
this->m_root = NULL;
}
else
{
BTreeNode<T>* np = dynamic_cast<BTreeNode<T>*>(node->m_parent);
if(np->m_left == node)
{
np->m_left = NULL;
}
else if(np->m_right == node)
{
np->m_right = NULL;
}
node->m_parent = NULL;
}
ret->m_root = node;
}
else
{
THROW_EXCEPTION(NoEnoughMemoryException, "no memory to create new tree...");
}
}**2.基于数据元素的删除**
SharedPointer< Tree<T> > remove(const T& value)SharedPointer< Tree<T> > remove(const T& value)
{
BTree<T>* ret = NULL;
BTreeNode<T>* node = find(value);
if(node != NULL)
{
remove(node, ret);
m_queue.clear();
}
return ret;
}**3.基于结点的删除**
SharedPointer< Tree<T> > remove(TreeNode<T>* node)SharedPointer< Tree<T> > remove(TreeNode<T>* node)
{
BTree<T>* ret = NULL;
node = find(node);
if(node != NULL)
{
remove(dynamic_cast<BTreeNode<T>*>(node), ret);
m_queue.clear();
}
return ret;
}测试技巧：直接打印已经删除的子树。
**总结：**
删除操作将目标界定啊所在的子树移除，必须完善处理父子结点的关系
### 4.3.2.结点清除操作
void clear() // 将二叉树中的所有节点清除(释放堆中的结点)
1.清除操作功能定义
free(node) // 清除node为根结点的二叉树，释放二叉树中的每个结点
// 清空树的功能函数定义
void free(BTreeNode<T>* node)
{
if(node != NULL)
{
free(node->m_left);
free(node->m_right);
//cout << node->value << endl;
if(node->flag())
{
delete node;
}
}
}
void clear()
{
free(root());
this->m_root = NULL;
}**测试技巧：**可以在free函数中打印删除的每一个结点
**总结：**
清除操作用于销毁树中的每个结点，销毁时要判断是否释放对应的内存空间(工厂模式)。
## 4.4.二叉树的属性操作实现
### 4.4.1.二叉树的结点数目
定义功能函数：cout(node) // 在node为根结点的二叉树中递归统计结点数目
// 获取树的结点个数，递归实现
int count(BTreeNode<T>* node) const
{
int ret = 0;
if(node != NULL)
{
// 左子树的结点个数 + 右子树的结点个数 + 1(根结点)
ret = count(node->m_left) + count(node->m_right) + 1;
}
return ret;
}
int count() const
{
return count(root());
}### 4.4.2.二叉树的高度
定义功能函数：height(node) // 递归获取node为根结点的二叉树的高度
// 获取树的结点个数，递归实现
int height(BTreeNode<T>* node) const
{
int ret = 0;
if(node != NULL)
{
int hl = height(node->m_left);
int hr = height(node->m_right);
// 左右子树高度的最大值 + 1(根结点)
ret = ((hl > hr) ? hl : hr) + 1;
}
return ret;
}
int height() const
{
return height(root());
}### 4.4.3.二叉树的度数
定义功能函数：degree(node) // 获取node为根结点的二叉树的度数
// 获取二叉树的度，递归实现
int degree(BTreeNode<T>* node) const
{
int ret = 0;
if(node != NULL)
{
/*
// 普通思路
int dl = degree(node->m_left); // 左子树的度
int dr = degree(node->m_right); // 右子树的度
ret = !!node->m_left + !!node->m_right; //根结点的度
if(dl > ret)
{
ret = dl;
}
else if(dr > ret)
{
ret = dr;
}
*/
/*
* 优化效率，二叉树的最大度数为2，如果ret已经为2，则不需要继续遍历
ret = !!node->m_left + !!node->m_right; //根结点的度
if(ret < 2)
{
int dl = degree(node->m_left); // 左子树的度
if(dl > ret)
{
ret = dl;
}
}
if(ret < 2)
{
int dr = degree(node->m_right); // 左子树的度
if(dr > ret)
{
ret = dr;
}
}
*/
// 优化冗余代码
ret = !!node->m_left + !!node->m_right; //根结点的度
BTreeNode<T>* child[] = {node->m_left, node->m_right};
for(int i=0; i<2 && ret<2; i++)
{
int d = degree(child[i]);
if(d > ret)
{
ret = d;
}
}
}
return ret;
}
int degree() const
{
return degree(root());
}## 4.5.二叉树的层次遍历
二叉树的遍历是指从根结点出发，按照某种次序依次访问二叉树中的所有节点，使得每个结点被访问一次。
思考：通用树结构的层次遍历算法是否可以用在二叉树结构上？如果可以需要做什么改动？
不同之处在于二叉树最多只有两个孩子。
**设计思路：**
在树中定义一个新游标(BTreeNode<T>*)，遍历开始将游标指向根结点(root())，获取游标指向的数据元素，通过结点中的child成员移动游标；
提供一组遍历相关的函数，按层次访问树中的数据元素。
**层次遍历算法：**
原料：class LinkQueue<T>; 游标：LinkQueue<T>::front();
**思想：**
* begin() 将根结点压人队列中
* current() 访问队头指向的数据元素
* next() 队头元素弹出，将队头元素的孩子(左孩子、右孩子)压入队列中(核心)
* end() 判断队列是否为空
bool begin()
{
bool ret = (root() != NULL);
if(ret)
{
m_queue.clear();
m_queue.enqueue(root()); //把根结点压入队里
}
return ret;
}
bool end()
{
return (m_queue.length() == 0);
}
bool next()
{
bool ret = (m_queue.length() > 0);
if(ret)
{
BTreeNode<T>* node = m_queue.front();
m_queue.dequeue();
// 二叉树的左右孩子入队列
if(node->m_left != NULL)
{
m_queue.enqueue(node->m_left);
}
if(node->m_right != NULL)
{
m_queue.enqueue(node->m_right);
}
}
return ret;
}
// 获取游标所执行的元素
T current()
{
if(!end())
{
return m_queue.front()->value;
}
else
{
THROW_EXCEPTION(InvalidOperationException, "invalid operation ...");
}
}使用示例：
for(bt.begin(); !bt.end(); bt.next())
{
cout << bt.current() << " ";
}
# 5.二叉树的典型遍历方式
**问题：**二叉树是否只有一种遍历方式(层次遍历)？
**典型的二叉树遍历方式：**
这里的先序、后序、中序指的的根结点的访问次序
**1.先序遍历(Pre-Order Traversal)**
// 先序遍历
void PreOrderTraversal(BTreeNode<T>* node, LinkQueue<BTreeNode<T>*>& queue)
{
if(node != NULL)
{
queue.enqueue(node);
PreOrderTraversal(node->m_left, queue);
PreOrderTraversal(node->m_right, queue);
}
}**2.中序遍历(In-Order TRaversal)**
// 中序遍历
void InOrderTraversal(BTreeNode<T>* node, LinkQueue<BTreeNode<T>*>& queue)
{
if(node != NULL)
{
InOrderTraversal(node->m_left, queue);
queue.enqueue(node);
InOrderTraversal(node->m_right, queue);
}
}**3.后续遍历(Post-Order Traversal)**
// 后序遍历
void PostOrderTraversal(BTreeNode<T>* node, LinkQueue<BTreeNode<T>*>& queue)
{
if(node != NULL)
{
PostOrderTraversal(node->m_left, queue);
PostOrderTraversal(node->m_right, queue);
queue.enqueue(node);
}
}**4.层次遍历(LevelOrder- Traversal)**// 层次遍历
void LevelOrderTraversal(BTreeNode<T>* node,LinkQueue<BTreeNode<T>*>& queue)
{
if(node != NULL)
{
LinkQueue<BTreeNode<T>*> tmp; // 定义辅助队列
tmp.enqueue(node); // 根结点入队列
while(tmp.length()>0) // end
{
BTreeNode<T>* n = tmp.front();
if(n->m_left != NULL)
{
tmp.enqueue(n->m_left);
}
if(n->m_right != NULL)
{
tmp.enqueue(n->m_right);
}
tmp.dequeue(); //队头元素出队列，并存入输出队列
queue.enqueue(n);
}
}
}思考：是否可以将二叉树的典型遍历方式算法集成到BTree中，如果可以，代码需要做怎样的改动？
**设计要点：**
1.不能与层次遍历函数冲突，必须设计新的函数接口
2.算法执行完成后，能够方便的获得遍历结果，遍历结果能反映结点访问的先后次序
**函数接口设计：**
SharedPoiner<Array<T>> traversal(BTTraversal order)
1.根据参数order选择执行遍历算法(先序、中序、后序)
2.返回值为堆中的数组对象(生命周期由智能指针管理)
3.数据元素的次序反映遍历的先后次序void traversal(BTTraversal order,LinkQueue<BTreeNode<T>*>& queue)
{
switch (order)
{
case PreOrder:
PreOrderTraversal(root(),queue);
break;
case InOrder:
InOrderTraversal(root(),queue);
break;
case PostOrder:
PostOrderTraversal(root(),queue);
break;
case LevelOrder:
LevelOrderTraversal(root(),queue);
break;
default:
THROW_EXCEPTION(InvaildParameterException,"Parameter order is invalid ...");
break;
}
}**典型遍历示例：**SharedPointer<Array<int>> sp = NULL;
sp = bt.traversal(PostOder);
for(int i=0; i<(*sp).length(); i++)
{
cout << (*sp)[i] << " ";
}
**总结：**
1.二叉树的典型遍历都是以递归方式进行的；
2.BTree以不同的函数接口支持典型遍历，防止与层次遍历冲突；
# 6.二叉树的克隆、比较和相加
## 6.1.二叉树克隆
克隆当前树的一份拷贝，返回值为堆空间中的一颗新树(与当前树相等)。
SharedPointer<BTree<T>> clone() const
功能函数定义：clone(node)
递归拷贝node为根结点的二叉树(数据元素在对应位置相等)
## 6.2.二叉树比较
判断两颗二叉树中的数据元素是否对应相等：
bool operater == (const BTree<T>& btree)
bool operater == (const BTree<T>& btree)
功能函数定义：equal(lh, rh)
递归判断lh为根结点的二叉树和rh为根结点的二叉树是否相等。
## 6.3.二叉树相加
将当前二叉树与参数btree中的数据元素在对应的位置处相加，返回值(相加的结果)为堆空间中的一颗新二叉树。
SharedPointer<BTree<T>> add(const BTree<T>& btree) const
二叉树相加操作功能函数定义：add(lh, rh),将lh为根节点的二叉树与rh为根结点的二叉树相加。
# 7.二叉树线索化实现
**1.什么是线索化二叉树？**
将二叉树转换为双向链表的过程(非线性-->线性)的过程称为线索化。
能够反映某种二叉树的遍历次序（结点的先后访问次序）
技巧：利用结点的right指针指向遍历中的后继结点，left指针指向前驱结点。
为什么要要进行线索化？
二叉树的遍历操作都采用递归进行(比较低效)，如果需要经常遍历，将二叉树进行线索化后作为双向链表存在，后续直接访问双向链表将提高效率。
**2.如何对二叉树进行线索化？**
使用某种遍历算法对二叉树进行遍历，在遍历的同时将遍历顺序存储到队列，然后使用left和right指针连接队列中的结点。
**3.目标**
- 新增功能函数traversal(order, queue),同时新增遍历方式（层次遍历）LeverOrder
- 新增共有函数BTreeNode<T>* thread(BTTraversal order)
**4.层次遍历实现**
(1)将根结点压入队列
(2)访问队头元素指向的二叉树结点
(3)队头元素弹出，将队头元素的孩子压入队列
(4)判断队列是否为空(非空：执行2，空：结束)
**5.线索化实现**
函数接口：BTreeNode<T>* thread(BTTraversal order)
(1)根据参数order选择线索化的次序（先序、中序、后续、层次）
(2)连接线索化后的结点；
(3)返回线索化后指向链表首节点的指针，并将对应的二叉树变为空树
**6.队列中结点的连接**
- 初始操作，定义一个slider指针并指向队列头部元素，队列头部元素的left指针指向NULL并出队列；
- slider的right指针指向新的队列头部元素，队头元素的left指针指向slider，slider记录队头元素，队头元素出队列。
**总结：**
1.线索化是将二叉树转化为双向链表的过程，线索华后结点间的先后次序符合某种遍历次序；
2.线索化将破坏原二叉树间的父子关系，同时线索化后二叉树将不再管理结点中的生命周期（二叉树已经不存在，只有双向链表）。
# 8.二叉树的经典面试题分析
# 8.1.单度结点删除
要求：编写一个函数用于删除二叉树中的所欲单度结点，结点删除后，其唯一的子结点代替它的位置
### 8.1.1.结点中包含指向父节点的指针
定义功能函数：delOdde(node) // 递归删除node为根结点的二叉树中的单度结点
### 8.1.2.结点中只包含左右孩子指针
定义功能函数：delOdde(node) // 递归删除node为根结点的二叉树中的单度结点，其中node为结点指针的引用
## 8.2.中序线索化二叉树
要求：编写一个函数用于中序线索化二叉树，不能使用其他的数据结构。
### 8.2.1.解法1
在中序遍历的同时进行线索化
思路：使用辅助指针，在中序遍历时指向当前结点的前驱结点，访问当前结点时，连接与前驱结点的先后次序。
定义功能函数：inOrderThread(node,pre),其中node为根结点，也是中序遍历访问的结点，pre为中序遍历时的前驱结点指针。
### 8.2.2.解法2
中序遍历的结点正好是结点的水平次序
思路：
1.使用辅助指针，指向转换后双向链表的头节点和尾节点；
2.根结点与左右子树转为的双向链表连接，称为完整双向链表。
定义功能函数：inOrderThread(node, head, tail)：
Node为根结点，也是中序遍历的访问结点，head转后成功后指向双向链表的首节点，tail转换成功后指向双向链表的尾节点。