1.递归复习
函数自己调用自己的过程就叫做递归，每一次函数调用，都会在栈里面开辟一块空间；递归都是有跳出条件的，每一次递归自己调用自己的时候在无限地接近跳出条件
写一段C代码:
#include<stdio.h>
Int main(){
printf("hh");
main();
return 0;
}
这个过程中程序就会一直循环打印hh,知道程序挂掉，在这个过程中会出现栈溢出
练习题1:接收到一个整型，按照它的顺序打印它的每一位;
void print(int n)
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{
if(n>9) //1234
{ print(n/10);//123
}
printf("%d",n%10);
}
void print(int n)
{
if(n>9)
{ print(n/10);//12
}
printf("%d",n%10);
}
void print(int n)
{
if(n>9)
{ print(n/10);
}
printf("%d",n%10);此时传过来的是1
}
1)当我们首次调用print函数的时候，首先我们传入的是1234，先进入到if语句里面，发现1234>9，会再次调用print函数，不会执行到下面的printf打印函数，此时主要做的是执行if语句里面的print函数；
2)第二次调用print函数的时候，传过去的实参是123，在这个print函数里面，会再次遇到一个if语句，123>9会执行到if语句，在if语句里面又会调用一次print函数，而此时代码还是一样不会继续向下执行到打印语句，而是会执行我们第三次调用的print函数，传过去的实参是12
3)当我们第三次调用print函数的时候，还是会进入到if语句执行我们的第四次print函数，一样不会打印
4)打给我们第四次调用print函数的时候，发现if语句进不去，这是终于执行if语句下面的打印语句printf了;此时我们的第四个print函数在第三个print函数里面的if语句调用完了，此时就会执行第三个print函数的打印语句循环往复。。。。
2.二叉树---子树是不相交的,0,1,2个孩子，不存在度大于2的节点
通常情况下:第一层有2^0个节点，第二层有2^1个节点，第三层有2^2个节点，那么第N层有2^(N-1)个节点,一共有2^N-1个节点
1)结点的度:一个节点所拥有子树的个数称为该结点的度；
2)树的度:一棵树中,最大结点的度称为树的度，一个节点如果没有子树，那么他的度就是0；
3)叶子节点或终端节点:度为0的节点称之为叶子节点，即没有做孩子又没有右孩子；
4)满二叉树:每一层的节点数都达到了最大值，每一个节点任意一个节点都有左孩子和右孩子；
5)完全二叉树:不存在一个节点只有右孩子而不存在左孩子,每一层都放满
6)对于任意一棵二叉树，如果它的叶子节点个数是n0,度为2的非叶子节点的个数是n2，那么n0=n2+1，度为0的节点比度为2的节点多1；
7)如果规定根节点的层数是1，那么一个非空二叉树的第i层上面最多有2^(i-1)个节点
8)具有N个节点的完全二叉树的深度为log2(N+1)取整
9)
例1：某二叉树一共有399个节点，其中有199个度为2的节点，那么该二叉树中的叶子结点个数为199+1=200个；
例2:具有2n个节点的完全二叉树中，叶子节点的个数是n;
第一种方法:当n=1,n=2,n=3带进去算一算叶子结点的个数
第二种方法:既然它是一棵二叉树，那么他既有可能有偶数个节点，也有可能有奇数个节点；
既然有偶数个节点；
如果有偶数个节点，那么它还是一棵完全二叉树，那么它的度为1的节点只有一个；
如果有奇数个节点，那么它还是一颗完全二叉树，那么它的度为1的节点只有0个；
例3:一个具有767个结点的完全二叉树，它的叶子节点个数是384；
2n-1=767
例4:一颗完全二叉树的节点数是531个，那么这颗树的高度为10
3.二叉树的遍历
1)前序遍历:先打印根节点,在打印它的左子树,最后打印它的右子树(如果说左子树下面有节点或者说右子树下面有节点,那么不能直接进行打印),因为它的左子树的子节点很有可能是下一棵树的根节点
A
B C
D Null E F
Null Null Null Null Null Null Null Null
1)我们现在从根节点开始进行前序遍历,current指向的结点不是空,那么打印A结点的数值;
2)接下来我们打印A的左树,但是我们此时发现A的左树又一大陀节点,所以说我们先要把A的作书上面的所有节点(B,D)都打印完成,才可以打印A的右边
3)我们接下来再次从向左走,遇到根节点B,打印B,此时我们应该打印B的左树了,但是这时,B又发现B的左树又是一大堆,在向左边走(current=current.left)
4)走到D节点之后,先打印根节点,再次尝试打印D的左节点,发现左节点为空,不打印,尝试打印D的右节点,发现也为空;
5)此时我们就把B的左边打印成功了,现在我们想尝试打印B的右边,发现B的右边为空节点,不进行打印
6)此时我们就发现A的左子树已经打印完成了
7)现在我们尝试打印A的右边(右子树)
8)我们先走到C的位置,是根节点,进行打印C里面的数值;再去尝试打印C的左边,发现C的左边有一大陀,现在我们继续向左走,走到E,发现E为根节点,进行打印,再走到E的左边,发现为空,不打印,走到E的右边,发现为空,不进行打印;
9)此时我们已经把C的左边打印完成了,尝试打印C的右边
10)走到F位置,打印F,走到F的左边,发现为空,不进行打印,右边为空,不进行打印;
A B D C E F
2)中序遍历:先打印左子树,在打印根节点,再进行打印右子树;
1)现在我们从根节点进行遍历,一开始current指向的节点是A,那么我们现在可以一开始就打印A吗?这是不行的,因为先要打印A的左树(一大坨节点),才可以进行打印A;
2)那么现在我们向A的左边走,走到B节点,此时我们可以打印B了吗?还是不可以,因为B虽然是A的左孩子节点,但是必须B是它下面的子树的根节点,所以说还是不可以进行打印
3)在向B的左边走,我们来到了D,此时还是不可以直接打印D的,而是先要打印D的左子树,发现为空,不会进行打印,此时D的左节点已经完成,先在打印根节点D,再去打印D的右边,发现为空,不进行打印;
4)此时B的左边的全部树节点已经打印完成,现在尝试打印根节点B,再去打印B的右子树,发现为空,不会进行打印
5)此时A的左边已经打印完成了,先把在打印根节点A,再去尝试打印A的右边,现在走到了C节点的位置,不能打印C,先走到C的左边,是E,E也是不能打印,先打印E的左边,为null,E的左边打印完成,打印E,再去打印E的右边,为空,不打印
6)此时C的左边已经打印完成,此时打印根节点C,再去尝试打印C的右边
7)现在走到F节点,但是此时还是不可以打印F节点,先尝试打印F的左边,为空,不进行打印,打印F,再去尝试打印F的右边,为空,不打印
打印结果为:DBAECF
3.后序遍历:先打印左子树,再进行打印右子树,在进行打印根节点;
DBEFCA
4.层序遍历:从所在二叉树的根节点进行出发,首先访问第一层的数根节点,再次从第二层左向右访问根节点,从上到下,从左到右;
4.三种遍历方式的代码(进行宏观理解)
1.前序遍历:先走完所有结点的左边,再进行打印对应的根节点,再去走所有右边的节点
public void preprint(Node root) {
if (root == null) {
return;
}
System.out.println(root.data);
preprint(root.left);
preprint(root.right) 
1) 我们现在使用一个栈来进行辅助理解,当我们进行遍历到A的时候,将A入栈(啥时候我们把A的左边和右边都打印完成了才可以进行出栈),我们先要打印A的data,再去打印他的左节点(11),左节点打印完成了,再去打印右节点(12)
2)左节点发现是B,我们打印B的data,将B入栈,现在我们再去尝试打印B的左节点(21),再去打印右节点(22)
3)B的左节点是D,我们进行打印D的data,将D入栈,再去尝试打印D的左边,为空,再去打印D的右边,也为空,此时我们将D出栈;
4)此时的栈顶元素是B,B已经打印完成了B的左边,再去执行22操作,发现B的右边为空,B这个节点已经完工了,此时就将B进行出栈
5)A的左边已完成,进行A的右边........
练习题1
写一个代码实现前序遍历
class Solution {
List<Integer> list=new ArrayList<>();
public List<Integer> preorderTraversal(TreeNode root) {
if(root==null)
{
return list;
}
list.add(root.val);
preorderTraversal(root.left);
preorderTraversal(root.right);
return list;
}
} public List<Integer> preorderTraversal(TreeNode root) {
List<Integer> list=new ArrayList<>();
if(root==null)
{
return list;
}
list.add(root.val);
List<Integer> list1= preorderTraversal(root.left);
List<Integer> list2= preorderTraversal(root.right);
list.addAll(list1);
list.addAll(list2);
return list;
}1)这里面要注意,这里面的返回值是List<Integer>,所以说当root为空的时候,直接返回list即可
2)我们保证,在进行每一次递归的过程中,要保证List只有一份;
常见笔试题:
1)已知某完全二叉树(同一层从左到右)层序遍历的序列是ABCDEFGH,那么该二叉树的前序序列为? ABDHECFG
2)已知二叉树的前序遍历是EFHIGJK,它的中序遍历是HFIEJKG,那么这个二叉树的根节点是
(已知)前序遍历和中序遍历我们要知道根据一棵树的某一个遍历,是不能够完全确定一棵二叉树的
前序遍历是根左右,中序遍历是左右根,我们定义一个i下标,从前序遍历的结果开始向后走,例如说i走到了E,那么在中序遍历的结果找E,此时把中序遍历的结果分成两部分,E的左,E的右;此时就可以画出完整的二叉树;
3)已知二叉树的中序遍历结果是BADCE,后序遍历结果为BDECA,那么前序遍历的二叉树序列为abcde
先遍历后序遍历的序列,从最后一个元素位置出发;然后再拿这个元素找到该根,然后再从中序遍历的结果找到该根,根的左边是左子树,右边是右子树
接下来继续遍历后序遍历的序列,此时再次拿到的根就是这棵树的右子树;
1)从后序遍历的结果根是A,因为后序遍历的最后一个位置一定是根节点;
2)我们从中序遍历(左右根)的结果找A的位置,分成左右两个部分,然后中序遍历向回走找到C,C此时一定是A的右边(因为先打印右边再进行打印根位置),那么再往前走,e一定是c的右边;
4)如果某一个二叉树的后序遍历结果和中序遍历结果是相同的,都是ABCDEF,那么依次按层输出的(同一层从左到右的序列)是FEDCBA