转载自博客：https://www.cnblogs.com/linyujun/p/5194184.html
博主很强emmm
数论倒数，又称逆元（因为我说习惯逆元了，下面我都说逆元）
数论中的倒数是有特别的意义滴
你以为a的倒数在数论中还是1/a吗
(・∀・)哼哼~天真
先来引入求余概念
(a + b) % p = (a%p + b%p) %p （对）
(a - b) % p = (a%p - b%p) %p （对）
(a * b) % p = (a%p * b%p) %p （对）
(a / b) % p = (a%p / b%p) %p （错）
为什么除法错的
证明是对的难，证明错的只要举一个反例
(100/50)%20 = 2 ≠ (100%20) / (50%20) %20 = 0
对于一些题目，我们必须在中间过程中进行求余，否则数字太大，电脑存不下，那如果这个算式中出现除法，我们是不是对这个算式就无法计算了呢？
答案当然是 NO (>o<)
这时就需要逆元了
我们知道
如果
a*x = 1
那么x是a的倒数，x = 1/a
但是a如果不是1，那么x就是小数
那数论中，大部分情况都有求余，所以现在问题变了
a*x = 1 (mod p)
那么x一定等于1/a吗
不一定
所以这时候，我们就把x看成a的倒数，只不过加了一个求余条件，所以x叫做 a关于p的逆元
比如2 * 3 % 5 = 1，那么3就是2关于5的逆元，或者说2和3关于5互为逆元
这里3的效果是不是跟1/2的效果一样，所以才叫数论倒数
a的逆元，我们用inv(a)来表示
那么(a / b) % p = (a * inv(b) ) % p = (a % p * inv(b) % p) % p
这样就把除法，完全转换为乘法了 (。・ω・)，乘法超容易
正篇开始
逆元怎么求
(忘了说，a和p互质，a才有关于p的逆元)
方法一：
费马曾经说过：不想当数学家的数学家不是好数学家（(￣▽￣)~*我随便说的，别当真）
费马小定理
a^(p-1) ≡1 (mod p)
两边同除以a
a^(p-2) ≡1/a (mod p)
什么(,,• ₃ •,,)，这可是数论，还敢写1/a
应该写a^(p-2) ≡ inv(a) (mod p)
所以inv(a) = a^(p-2) (mod p)
用快速幂求一下
Code：
LL pow_mod(LL a, LL b, LL p){//a的b次方求余p
LL ret = 1;
while(b){
if(b & 1) ret = (ret * a) % p;
a = (a * a) % p;
b >>= 1;
}
return ret;
}
LL Fermat(LL a, LL p){//费马求a关于b的逆元
return pow_mod(a, p-2, p);
}方法二：
定理证明
转自：https://blog.csdn.net/yoer77/article/details/69568676
设：a>b。
推理1，显然当 b=0，gcd（a，b）=a。此时 x=1，y=0;//推理1
推理2，ab!=0 时
设 ax1+by1=gcd(a,b);
bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);
根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);
则:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;
即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;
根据恒等定理得：x1=y2 ,y1=x2-(a/b)*y2;//推理2
这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2.
上面的思想是以递归定义的，因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0，所以递归可以结束。
//以上相当于通解，特解就是求逆元
//a×x=1（mod m）等价于 a×x+m×y=1（mod m）
为了便于理解：
跑一遍代码叭～
exgcd(47, 30, x, y)
{
r = exgcd(30, 17，x, y)
{
r = exgcd(17, 13, x, y)
{
r = exgcd(13, 4, x, y)
{
r = exgcd(4, 1, x, y)
{
r = exgcd(1, 0, x, y)
{
x = 1;
y = 0;
return 1;
}
t = y = 0;
y = x - (4/1) * y = 1;
x = t = 0;
return r = 1;
}
t = 1;
y = 0 - (13/4) * 1 = -3;
x = 1;
return 1;
}
t = -3;
y = 1 - (17/13) * (-3) = 4;
x = -3;
return 1;
}
t = 4;
y = -3 - (30/17) * 4 = -7;
x = 4;
return 1;
}
t = -7;
y = 4 - (47/30) * (-7) = 11;
x = -7;
return 1;
}
最后的结果:
r = exgcd(47,30,x,y) = 1;
x = -7;
y = 11;Code：
int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
if(b == 0)
{//推理1，终止条件
x = 1;
y = 0;
return a;
}
int r = exgcd(b, a%b, x, y);
//先得到更底层的x2,y2,再根据计算好的x2,y2计算x1，y1。
//推理2，递推关系
int t = y;
y = x - (a/b) * y;
x = t;
return r;
}
//完整版代码
#include <iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
ll ex_gcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
if(!b)
{
x=1;
y=0;
return a;
}
ll r=ex_gcd(b,a%b,x,y);
ll t=y;
y=x-(a/b)*y;
x=t;
return r;
}
void inv(ll m,ll n,ll c)
{
ll x,y;
ll gcd=ex_gcd(m,n,x,y);
ll ans=x%n; //得到的x即为特解，为避免x是负的，所以要先求余n再加上n
if(ans<=0)
ans+=n;
if(gcd==1)
cout<<ans<<endl;
//或者直接这样写 cout<<(x%n+n)%n<<endl;
}
int main()
{
ll m,n;
cin>>m>>n;
inv(m,n,1);
return 0;
}
还有一种不太常用的：递推打表
可求n个数的逆元
当p是个质数的时候有
inv(a) = (p - p / a) * inv(p % a) % p
这为啥是对的咩？
证明不想看的孩子可以跳过。。。（￣0 ￣）
证明：
设x = p % a,y = p / a
于是有 x + y * a = p
(x + y * a) % p = 0
移项得 x % p = (-y) * a % p
x * inv(a) % p = (-y) % p
inv(a) = (p - y) * inv(x) % p
于是 inv(a) = (p - p / a) * inv(p % a) % p
然后一直递归到1为止，因为1的逆元就是1
Code：
#include<cstdio>
typedef long long LL;
LL inv(LL t, LL p) {//求t关于p的逆元，注意:t要小于p，最好传参前先把t%p一下
return t == 1 ? 1 : (p - p / t) * inv(p % t, p) % p;
}
int main(){
LL a, p;
while(~scanf("%lld%lld", &a, &p)){
printf("%lld\n", inv(a%p, p));
}
}这个方法不限于求单个逆元，比前两个好，它可以在O(n)的复杂度内算出n个数的逆元
递归就是上面的写法，加一个记忆性递归，就可以了
递推这么写
#include<cstdio>
const int N = 200000 + 5;
const int MOD = (int)1e9 + 7;
int inv[N];
int init(){
inv[1] = 1;
for(int i = 2; i < N; i ++){
inv[i] = (MOD - MOD / i) * 1ll * inv[MOD % i] % MOD;
}
}
int main(){
init();
}