题目:
Problem Description 新年快到了,“猪头帮协会”准备搞一个聚会,已经知道现有会员N人,把会员从1到N编号,其中会长的号码是N号,凡是和会长是老朋友的,那么该会员的号码肯定和N有大于1的公约数,否则都是新朋友,现在会长想知道究竟有几个新朋友?请你编程序帮会长计算出来。 |
Input 第一行是测试数据的组数CN(Case number,1<CN<10000),接着有CN行正整数N(1<n<32768),表示会员人数。 |
Output 对于每一个N,输出一行新朋友的人数,这样共有CN行输出。 |
Sample Input |
Sample Output |
简述:给一个数,求小于它并与其互质的数的个数。
该题利用到欧拉函数的性质。
欧拉函数(转载):
定义:对于正整数n,φ(n)是小于或等于n的正整数中,与n互质的数的数目。
例如:φ(8)=4,因为1,3,5,7均和8互质。
性质:1.若p是质数,φ(p)= p-1.
2.若n是质数p的k次幂,φ(n)=(p-1)*p^(k-1)。因为除了p的倍数都与n互质
3.欧拉函数是积性函数,若m,n互质,φ(mn)= φ(m)φ(n).
根据这3条性质我们就可以推出一个整数的欧拉函数的公式。因为一个数总可以写成一些质数的乘积的形式。
E(k)=(p1-1)(p2-1)...(pi-1)*(p1^(a1-1))(p2^(a2-1))...(pi^(ai-1))
= k*(p1-1)(p2-1)...(pi-1)/(p1*p2*...*pi)
= k*(1-1/p1)*(1-1/p2)...(1-1/pk)
在程序中利用欧拉函数如下性质,可以快速求出欧拉函数的值(a为N的质因素)
若( N%a ==0&&(N/a)%a ==0)则有:E(N)= E(N/a)*a;
若( N%a ==0&&(N/a)%a !=0)则有:E(N)= E(N/a)*(a-1);
欧拉函数模板:
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代码:
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define maxn 32678
using namespace std;
int n;int m;
int euler(int x)
{
int res=x;
for(int i=2; i*i<=x; i++)
{
if(x%i==0)
{
res=res/i*(i-1);
while(x%i==0) x/=i;
}
}
if(x>1) res=res/x*(x-1);
return res;
}
int main()
{
std::ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);
int t;
cin >> t;
while(t--)
{
int n;
cin >> n;
cout << euler(n) << endl;
}
return 0;
}