二叉树★DP★二叉树的计数

题目

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题目描述

无

输入

第1行：二叉树的前序遍历顺序 第2行：后序遍历顺序

输出

第1行：1个整数，表示所有可能的二叉树的数量

样例输入

ABC
CBA

样例输出

4

分析

令先序遍历为$s1$，后序遍历为$s2$。

定义状态

$f(l1,r1,l2,r2)$：满足先序遍历为$s1[l1,...,r1]$，后序遍历为$s2[l2,...r2]$的子树的棵数。

转移

对于$f(l1,r1,l2,r2)$这棵子树的种类数，一定是：左子树的种类数$\times$右子树种类数。注意一点：当左右子树有一个为空时，另一个子树可以“移栽”在空的这个子树的位置上，所以种类数要乘2。

所以，要找出$f(l1,r1,l2,r2)$的两个子树。

能确定的是：$f(l1,r1,l2,r2)$的左子树的根一定是$s1[l1+1]$，原因自己想。
所以，在$s2[l2,...r2]$找到$s1[l1+1]$的位置$p$，那么左右子树在后序中的位置就出来了，分别为$s2[l2,...,p]$和$s2[p+1,r2]$。

由于在先序中，一个子树一定是连续的一个串，所以在根右边的$0\to (p-l2)$个全部是左子树，那剩下的就是右子树了。所以左右子树分别为$s1[l1+1,...,l1+(p-l2+1)]$和$s1[l1+(p-l2+1)+1,...,r1]$。

所以：$f(l1,l2,r1,r2)=f(l1+(p-l2+1)+1,r1,p+1,r2-1)*f(l1+1,l1+(p-l2+1),l2,p)$。

边界

当只有两个结点时，显然return 2。
只有一个结点，return 1。
当子树为空时，return 2（处理之前说的“移栽”的情况）。

当找不到$p$时，说明这个子树也为空了，给$p$一个极大值（让$f$返回2）即可。

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>

#define MAXN 26
char s1[MAXN+5],s2[MAXN+5];
int N;

int Find(char t,int l,int r)
{
    for(int i=l;i<=r;i++)
        if(s2[i]==t)
            return i;
    return MAXN+2;//找不到p
}

int dfs(int l1,int r1,int l2,int r2)
{
    if(r2<l2) return 2;
    if(r2-l2+1<=2) return r2-l2+1;//结点数<=2
    int p=Find(s1[l1+1],l2,r2);
    return dfs(l1+(p-l2+1)+1,r1,p+1,r2-1)*
           dfs(l1+1,l1+(p-l2+1),l2,p);
}

int main()
{
    scanf("%s%s",s1+1,s2+1);
    N=strlen(s1+1);
    printf("%d",dfs(1,N,1,N));
}