深度学习过程中，在训练数据不够多时，或者overtraining时，常常会导致overfitting（过拟合）。其直观的表现如下图所示，随着训练过程的进行，模型复杂度增加，在training data上的error渐渐减小，但是在验证集上的error却反而渐渐增大——因为训练出来的网络过拟合了训练集，对训练集外的数据却不work。

4.数据集的划分与过拟合

有一个概念需要先说明，在机器学习算法中，我们常常将原始数据集分为三部分：training data、validation data，testing data。这个validation data是什么？它其实就是用来避免过拟合的，在训练过程中，我们通常用它来确定一些超参数（比如根据validation data上的accuracy来确定early stopping的epoch大小、根据validation data确定learning rate等等）。那为啥不直接在testing data上做这些呢？因为如果在testing data做这些，那么随着训练的进行，我们的网络实际上就是在一点一点地overfitting我们的testing data，导致最后得到的testing accuracy没有任何参考意义。因此，training data的作用是计算梯度更新权重，validation data如上所述，testing data则给出一个accuracy以判断网络的好坏。

二、防止过拟合的方法

避免过拟合的方法有很多：添加噪声，early stopping、数据集扩增（Data augmentation）、数据均衡、正则化（Regularization）包括L1、L2（L2 regularization也叫weight decay），dropout。

1.添加噪声

数据原本有噪声，添加噪声可能可以抵消原本的噪声的影响

2.early stopping

观察loss的曲线变化情况，训练测试验证集曲线平滑后即可停止训练，否则可能导致test的曲线上升，发生过拟合

3.数据集扩增（Data augmentation）

通过改变图像的亮度，旋转，切分等操作，增大数据集样本量

“有时候不是因为算法好赢了，而是因为拥有更多的数据才赢了。”

不记得原话是哪位大牛说的了，hinton？从中可见训练数据有多么重要，特别是在深度学习方法中，更多的训练数据，意味着可以用更深的网络，训练出更好的模型。

既然这样，收集更多的数据不就行啦？如果能够收集更多可以用的数据，当然好。但是很多时候，收集更多的数据意味着需要耗费更多的人力物力，有弄过人工标注的同学就知道，效率特别低，简直是粗活。

所以，可以在原始数据上做些改动，得到更多的数据，以图片数据集举例，可以做各种变换，如：

将原始图片旋转一个小角度
添加随机噪声
一些有弹性的畸变（elastic distortions），论文《Best practices for convolutional neural networks applied to visual document analysis》对MNIST做了各种变种扩增。
截取（crop）原始图片的一部分。比如DeepID中，从一副人脸图中，截取出了100个小patch作为训练数据，极大地增加了数据集。感兴趣的可以看《Deep learning face representation from predicting 10,000 classes》.

更多数据意味着什么？

用50000个MNIST的样本训练SVM得出的accuracy94.48%，用5000个MNIST的样本训练NN得出accuracy为93.24%，所以更多的数据可以使算法表现得更好。在机器学习中，算法本身并不能决出胜负，不能武断地说这些算法谁优谁劣，因为数据对算法性能的影响很大。

4.数据均衡

negative和positive的数据量要基本保持1：1的比例。

可以通过数据集过充的过程达到这个效果。

但是样本数量一样多并不意味着样本完全均衡，样本总有容易区分的和不容易区分的，分布不均衡。可以通过改变lost fucntion，不使用交叉熵，比如使用focal loss，来解决这个问题。

5.正则化（Regularization）

（0）L1、L2总览

机器学习中几乎都可以看到损失函数后面会添加一个额外项，常用的额外项一般有两种，一般英文称作ℓ1ℓ1-norm和ℓ2ℓ2-norm，中文称作L1正则化和L2正则化，或者L1范数和L2范数。

L1正则化和L2正则化可以看做是损失函数的惩罚项。所谓『惩罚』是指对损失函数中的某些参数做一些限制。对于线性回归模型，使用L1正则化的模型建叫做Lasso回归，使用L2正则化的模型叫做Ridge回归（岭回归）。

下图是Python中Lasso回归的损失函数，式中加号后面一项α||w||1α||w||1即为L1正则化项。

lasso regression

下图是Python中Ridge回归的损失函数，式中加号后面一项α||w||22α||w||22即为L2正则化项。

ridge regression

一般回归分析中回归ww表示特征的系数，从上式可以看到正则化项是对系数做了处理（限制）。

L1正则化和L2正则化的说明如下：

L1正则化是指权值向量ww中各个元素的绝对值之和，通常表示为||w||1||w||1
L2正则化是指权值向量ww中各个元素的平方和然后再求平方根（可以看到Ridge回归的L2正则化项有平方符号），通常表示为||w||2||w||2

一般都会在正则化项之前添加一个系数，Python中用αα表示，一些文章也用λλ表示。这个系数需要用户指定。

那添加L1和L2正则化有什么用？

下面是L1正则化和L2正则化的作用，这些表述可以在很多文章中找到。

L1正则化可以产生稀疏权值矩阵，即产生一个稀疏模型，可以用于特征选择
L2正则化可以防止模型过拟合（overfitting）；一定程度上，L1也可以防止过拟合

稀疏模型与特征选择

上面提到L1正则化有助于生成一个稀疏权值矩阵，进而可以用于特征选择。为什么要生成一个稀疏矩阵？

稀疏矩阵指的是很多元素为0，只有少数元素是非零值的矩阵，即得到的线性回归模型的大部分系数都是0. 通常机器学习中特征数量很多，例如文本处理时，如果将一个词组（term）作为一个特征，那么特征数量会达到上万个（bigram）。在预测或分类时，那么多特征显然难以选择，但是如果代入这些特征得到的模型是一个稀疏模型，表示只有少数特征对这个模型有贡献，绝大部分特征是没有贡献的，或者贡献微小（因为它们前面的系数是0或者是很小的值，即使去掉对模型也没有什么影响），此时我们就可以只关注系数是非零值的特征。这就是稀疏模型与特征选择的关系。

L1和L2正则化的直观理解

这部分内容将解释为什么L1正则化可以产生稀疏模型（L1是怎么让系数等于零的），以及为什么L2正则化可以防止过拟合。

（1）L1正则化和特征选择

假设有如下带L1正则化的损失函数：

J=J0+α∑w|w|(1)(1)J=J0+α∑w|w|

其中J0J0是原始的损失函数，加号后面的一项是L1正则化项，αα是正则化系数。注意到L1正则化是权值的绝对值之和，JJ是带有绝对值符号的函数，因此JJ是不完全可微的。机器学习的任务就是要通过一些方法（比如梯度下降）求出损失函数的最小值。当我们在原始损失函数J0J0后添加L1正则化项时，相当于对J0J0做了一个约束。令L=α∑w|w|L=α∑w|w|，则J=J0+LJ=J0+L，此时我们的任务变成在LL约束下求出J0J0取最小值的解。考虑二维的情况，即只有两个权值w1w1和w2w2，此时L=|w1|+|w2|L=|w1|+|w2|对于梯度下降法，求解J0J0的过程可以画出等值线，同时L1正则化的函数LL也可以在w1w2w1w2的二维平面上画出来。如下图：

@图1 L1正则化
图1 L1正则化

图中等值线是J0J0的等值线，黑色方形是LL函数的图形。在图中，当J0J0等值线与LL图形首次相交的地方就是最优解。上图中J0J0与LL在LL的一个顶点处相交，这个顶点就是最优解。注意到这个顶点的值是(w1,w2)=(0,w)(w1,w2)=(0,w)。可以直观想象，因为LL函数有很多『突出的角』（二维情况下四个，多维情况下更多），J0J0与这些角接触的机率会远大于与LL其它部位接触的机率，而在这些角上，会有很多权值等于0，这就是为什么L1正则化可以产生稀疏模型，进而可以用于特征选择。

而正则化前面的系数αα，可以控制LL图形的大小。αα越小，LL的图形越大（上图中的黑色方框）；αα越大，LL的图形就越小，可以小到黑色方框只超出原点范围一点点，这是最优点的值(w1,w2)=(0,w)(w1,w2)=(0,w)中的ww可以取到很小的值。

类似，假设有如下带L2正则化的损失函数：

J=J0+α∑ww2(2)(2)J=J0+α∑ww2

同样可以画出他们在二维平面上的图形，如下：

@图2 L2正则化
图2 L2正则化

二维平面下L2正则化的函数图形是个圆，与方形相比，被磨去了棱角。因此J0J0与LL相交时使得w1w1或w2w2等于零的机率小了许多，这就是为什么L2正则化不具有稀疏性的原因。

在原始的代价函数后面加上一个L1正则化项，即所有权重w的绝对值的和，乘以λ/n（这里不像L2正则化项那样，需要再乘以1/2）

同样先计算导数：

上式中sgn(w)表示w的符号。那么权重w的更新规则为：

比原始的更新规则多出了η * λ * sgn(w)/n这一项。

当w为正时，更新后的w变小。当w为负时，更新后的w变大——因此它的效果就是让w往0靠，使网络中的权重尽可能为0，也就相当于减小了网络复杂度，防止过拟合。

另外，上面没有提到一个问题，当w为0时怎么办？当w等于0时，|W|是不可导的，所以我们只能按照原始的未经正则化的方法去更新w，这就相当于去掉η*λ*sgn(w)/n这一项，所以我们可以规定sgn(0)=0，这样就把w=0的情况也统一进来了。（在编程的时候，令sgn(0)=0,sgn(w>0)=1,sgn(w<0)=-1）

（2）L2正则化(权重衰减)和过拟合

拟合过程中通常都倾向于让权值尽可能小，最后构造一个所有参数都比较小的模型。因为一般认为参数值小的模型比较简单，能适应不同的数据集，也在一定程度上避免了过拟合现象。可以设想一下对于一个线性回归方程，若参数很大，那么只要数据偏移一点点，就会对结果造成很大的影响；但如果参数足够小，数据偏移得多一点也不会对结果造成什么影响，专业一点的说法是『抗扰动能力强』。

那为什么L2正则化可以获得值很小的参数？

以线性回归中的梯度下降法为例。假设要求的参数为θθ，hθ(x)hθ(x)是我们的假设函数，那么线性回归的代价函数如下：

J(θ)=12m∑i=1m(hθ(x(i))−y(i))2(3)(3)J(θ)=12m∑i=1m(hθ(x(i))−y(i))2

那么在梯度下降法中，最终用于迭代计算参数θθ的迭代式为：

θj:=θj−α1m∑i=1m(hθ(x(i))−y(i))x(i)j(4)(4)θj:=θj−α1m∑i=1m(hθ(x(i))−y(i))xj(i)

其中αα是learning rate. 上式是没有添加L2正则化项的迭代公式，如果在原始代价函数之后添加L2正则化，则迭代公式会变成下面的样子：

θj:=θj(1−αλm)−α1m∑i=1m(hθ(x(i))−y(i))x(i)j(5)(5)θj:=θj(1−αλm)−α1m∑i=1m(hθ(x(i))−y(i))xj(i)

其中λλ就是正则化参数。从上式可以看到，与未添加L2正则化的迭代公式相比，每一次迭代，θjθj都要先乘以一个小于1的因子，从而使得θjθj不断减小，因此总得来看，θθ是不断减小的。

最开始也提到L1正则化一定程度上也可以防止过拟合。之前做了解释，当L1的正则化系数很小时，得到的最优解会很小，可以达到和L2正则化类似的效果。

L2正则化就是在代价函数后面再加上一个正则化项：

C0代表原始的代价函数，后面那一项就是L2正则化项，它是这样来的：所有参数w的平方的和，除以训练集的样本大小n。λ就是正则项系数，权衡正则项与C0项的比重。另外还有一个系数1/2，1/2经常会看到，主要是为了后面求导的结果方便，后面那一项求导会产生一个2，与1/2相乘刚好凑整。

L2正则化项是怎么避免overfitting的呢？我们推导一下看看，先求导：

可以发现L2正则化项对b的更新没有影响，但是对于w的更新有影响:

在不使用L2正则化时，求导结果中w前系数为1，现在w前面系数为 1−ηλ/n ，因为η、λ、n都是正的，所以 1−ηλ/n小于1，它的效果是减小w，这也就是权重衰减（weight decay）的由来。当然考虑到后面的导数项，w最终的值可能增大也可能减小。

另外，需要提一下，对于基于mini-batch的随机梯度下降，w和b更新的公式跟上面给出的有点不同：

对比上面w的更新公式，可以发现后面那一项变了，变成所有导数加和，乘以η再除以m，m是一个mini-batch中样本的个数。

L2正则化项有让w“变小”的效果，但是还没解释为什么w“变小”可以防止overfitting？一个所谓“显而易见”的解释就是：更小的权值w，从某种意义上说，表示网络的复杂度更低，对数据的拟合刚刚好（这个法则也叫做奥卡姆剃刀），而在实际应用中，也验证了这一点，L2正则化的效果往往好于未经正则化的效果。

过拟合的时候，拟合函数的系数往往非常大，为什么？如下图所示，过拟合，就是拟合函数需要顾忌每一个点，最终形成的拟合函数波动很大。在某些很小的区间里，函数值的变化很剧烈。这就意味着函数在某些小区间里的导数值（绝对值）非常大，由于自变量值可大可小，所以只有系数足够大，才能保证导数值很大。

而正则化是通过约束参数的范数使其不要太大，所以可以在一定程度上减少过拟合情况。

（3）总结

1）. L1和L2的定义

L1正则化，又叫Lasso Regression

如下图所示，L1是向量各元素的绝对值之和

L2正则化，又叫Ridge Regression

如下图所示，L2是向量各元素的平方和

2）. L1和L2的异同点

相同点：都用于避免过拟合

不同点：L1可以让一部分特征的系数缩小到0，从而间接实现特征选择。所以L1适用于特征之间有关联的情况。

L2让所有特征的系数都缩小，但是不会减为0，它会使优化求解稳定快速。所以L2适用于特征之间没有关联的情况

3）.L1和L2的结合

L1和L2的优点可以结合起来，这就是Elastic Net

6.Dropout

L1、L2正则化是通过修改代价函数来实现的，而Dropout则是通过修改神经网络本身来实现的，它是在训练网络时用的一种技巧（trike）。它的流程如下：

假设我们要训练上图这个网络，在训练开始时，我们随机地“删除”一半的隐层单元，视它们为不存在，得到如下的网络：

保持输入输出层不变，按照BP算法更新上图神经网络中的权值（虚线连接的单元不更新，因为它们被“临时删除”了）。

以上就是一次迭代的过程，在第二次迭代中，也用同样的方法，只不过这次删除的那一半隐层单元，跟上一次删除掉的肯定是不一样的，因为我们每一次迭代都是“随机”地去删掉一半。第三次、第四次……都是这样，直至训练结束。

以上就是Dropout，它为什么有助于防止过拟合呢？可以简单地这样解释，运用了dropout的训练过程，相当于训练了很多个只有半数隐层单元的神经网络（后面简称为“半数网络”），每一个这样的半数网络，都可以给出一个分类结果，这些结果有的是正确的，有的是错误的。随着训练的进行，大部分半数网络都可以给出正确的分类结果，那么少数的错误分类结果就不会对最终结果造成大的影响。

更加深入地理解，可以看看Hinton和Alex两牛2012的论文《ImageNet Classification with Deep Convolutional Neural Networks》