差分约束—学习笔记

差分约束系统（system of difference constraints）

如果一个系统由n个变量和m个约束条件组成
其中每个约束条件形如xj-xi<=bk(i,j∈[1,n],k∈[1,m])
则称其为差分约束系统。
亦即，差分约束系统是求解关于一组变量的特殊不等式组的方法。

通俗一点地说，差分约束系统就是给定一些不等式的组
而我们的目标是通过给定的约束条件
求出最大值或者最小值或者差分约束系统是否有解

---

差分约束系统可以通过图论求解

对于型如$x_v-x_u<=k$的不等式
我们从u到v连一条权值为k的边

若约束条件型如$x_v-x_u=k$
那么可以转化为$x_v-x_u<=k$且$x_v-x_u>=k \Rightarrow x_u-x_v<=-k$
可以连接两条边权相反的边
或者可以连接两条边权为0的边

建图后若图中存在负环，则无解
若要求差分约束系统的最小解，则在图中跑最长路
反之则跑最短路

特别要注意的图有可能不连通
这时候我们只需要连接一个超级源点即可

---

洛谷P1993 小K的农场【差分约束】题解

BZOJ2330 || 洛谷P3275 [SCOI2011]糖果【差分约束】题解

BZOJ1202 || 洛谷P2294 [HNOI2005]狡猾的商人【差分约束】题解