同济数学之行列式--读书笔记

同济数学五版

一、行列式

1.二阶三阶行列式

求解下面的 $x_1,x_2$

\begin{matrix} (1) & {\begin{cases} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} = b_{1} \\ a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} = b_{2} \end{cases} \end{matrix}

$\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 = b_1 \\a_{21}x_1 + a_{22}x_2 = b_2 \tag{1} \end{cases}$

x_{1} = \frac{b_{1} a_{22} - a 12 b_{2}}{a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}}, x_{1} = \frac{b_{1} a_{22} - a 12 b_{2}}{a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}}

$x_1 = \frac{b_1a_{22} - a{12}b_2}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}, x_1 = \frac{b_1a_{22} - a{12}b_2}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}$
可以看出其中分母

a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}

$a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$ 是由方程组的四个系数确定，把这四个系数按方程组中位置排成两行两列：

\begin{matrix} (2) & \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} \end{matrix}

$\begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{matrix} \tag{2}$
表达式

a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}

$a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$ 称为数表（2）所确定的二阶行列式，并记作

\begin{matrix} (3) & | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} | \end{matrix}

$\left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} \right| \tag{3}$
对角线法则只适合二阶与三阶行列式，四阶及更高阶性质不使用；

2.全排列及其逆序数

全排列：对于n个不同元素排成一列，叫做这n个元素的全排列；n个不同元素的所有排列种数有 $P_n = n!$

对于n个不同的元素，先规定各个元素之间有一个标准顺序（如可以规定由小到大标准排序），于是这n个元素的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有1个逆序。一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数
逆序数为奇数的排列叫做奇排列，逆序数为偶数的叫做偶排列。
设n个元素为1到n这n个自然数，并规定由小到大为标准次序。设：

p_{1} p_{2} . . . p_{n}

$p_1p_2...p_n$
为这n个自然数的一个排列，考虑元素

p_{i} (i = 1, 2, . . ., n)

$p_i(i = 1,2,...,n)$ ,如果比

p_{i}

$p_i$ 大的且排在

p_{i}

$p_i$ 前面的元素有t个，就是

p_{i}

$p_i$ 这个元素的逆序数是t全体元素的逆序数总和

t = t_{1} + t_{2} + . . . + t_{n} = \sum_{t = 1}^{n} t_{i}

$t = t_1 + t_2 + ...+t_n = \sum_{t=1}^nt_i$
就是这个排列的逆序数。

3.n阶行列式定义

三阶行列式可以写成

D = | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} | = a_{11} a_{22} a_{33} + a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32} - a_{11} a_{23} a_{32} - a_{12} a_{21} a_{33} - a_{13} a_{22} a_{31} = \sum (- 1)^{'} a_{1 p_{1}} a_{2 p_{2}} a_{3 p_{3}}

$D= \left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{matrix} \right| \\ = a_{11}a_{22} a_{33}+a_{12} a_{23} a_{31}+ a_{13} a_{21}a_{32} - a_{11} a_{23} a_{32} - a_{12} a_{21}a_{33} - a_{13}a_{22}a_{31} \\ = \sum(-1)'a_{1{p_1}}a_{2{p_2}}a_{3{p_3}}$
对n阶行列式同理；简单记作

d e t (a_{i j}), a_{i j}

$det(a_{ij}),a_{ij}$ 为行列式D的（i,j）元。
主对角线以下（上）的元素都为0的行列式叫做上（下）三角形行列式，它的值与对角行列式一样。

4.对换

5.行列式性质

性质1　行列式与它的转置行列式相等。
性质2　互换行列式的两行(列)，行列式变号。
推论　如果行列式有两行(列)完全相同，则此行列式为零。
性质3　行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式。
推论　行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。
性质4　行列式中如果有两行(列)元素成比例，则此行列式等于零。
性质5　若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和，例如第j列的元素都是两数之和：

6.行列式展开

低阶行列式比高阶行列式计算简便，因此可以通过低阶行列式来表示高阶行列式；这要知道余子式和代数余子式

在n阶行列式中，把元素 $a_{ij}$ 所在第i行和第j列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素 $a_{ij}$ 的余子式，记作 $M_{ij}$ ;记 $A_{ij}= (-1)^{i+j}M_{ij}$ , 叫做元素 $a_{ij}$ 的代数余子式。
如四阶行列式：

D = | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{matrix} |

$D= \left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{matrix} \right|$
中

a_{32}

$a_{32}$ 的余子式和代数余子式为

M_{32} = | \begin{matrix} a_{11} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{23} & a_{24} \\ a_{41} & a_{43} & a_{44} \end{matrix} | A_{32} = (- 1)^{3 + 2} M_{32} = - M_{32}

$M_{32}= \left| \begin{matrix} a_{11} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{23} & a_{24} \\ a_{41} & a_{43} & a_{44} \end{matrix} \right| \\ A_{32} = (-1)^{3+2}M_{32} = -M_{32}$

原理，公式

引理一个n阶行列式，如果其中第i行所有元素除 $a_{ij}$ 外都为零，那么这行列式等于 $a_{ij}$ 与它的代数余子式的乘积。 $D=a_{ij}A_{ij}$
定理3.1 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。
这里写图片描述

推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零？？

7.克拉默法则

含有n个未知数 $x_1,x_2,x_3...,x_n$ 的n个线性方程组：

\begin{matrix} (11) & {\begin{cases} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + . . . + a_{1 n} x_{n} = b_{1} \\ a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + . . . + a_{2 n} x_{n} = b_{2} \\ . . . . . . \\ a_{n 1} x_{1} + a_{n 2} x_{2} + . . . + a_{n n} x_{n} = b_{n} \end{cases} \end{matrix}

$\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + ...+a_{1n}x_n= b_1 \\a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + ...+a_{2n}x_n = b_2\\ ......\\ a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + ...+a_{nn}x_n = b_n \tag{11} \end{cases}$
可以用n阶行列式表示
克拉默法则：如果线性方程组(11)的系数行列式D≠0，即

D = | \begin{matrix} a_{11} & . . . . & a_{1 n} \\ ;; & . . . . & ;; \\ a_{n 1} & . . . . & a_{n n} \end{matrix} |

$D= \left| \begin{matrix} a_{11} & ....& a_{1n} \\ ;; & ....& ;; \\ a_{n1} & .... & a_{nn} \end{matrix} \right|$
则(11)一定有解，且解是唯一的。

x_{1} = \frac{D_{1}}{D}, x_{2} = \frac{D_{2}}{D}, . . ., x_{n} = \frac{D_{n}}{D}

$x_1 = \frac{D_1}{D},x_2 = \frac{D_2}{D},...,x_n = \frac{D_n}{D}$

“齐次”从字面上解释是“次数相等”的意思，是微积分中一个比较常用的概念，英文表达是homogeneous。
如 $ax^2+bxy+cy^2$ 这个里面都是2次多项式所以也是齐次的。
定理4.1 如果线性方程组(1)的系数行列式D≠0，则(1)一定有解，且解是唯一的。
定理4.1 如果线性方程组(1)无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零。
定理4.2 如果齐次线性方程组(2)的系数行列式D≠0，则齐次线性方程组(2)没有非零解。
定理4.2 如果齐次线性方程组(2)有非零解，则它的系数行列式必为零。