1.排列及其逆序数
对n个不同元素，规定各元素间一个标准次序。
在n个元素任一排列中，某个元素的先后次序与标准次序不同时，构成一个逆序。
一个排列中逆序的总数，称为这个排列的逆序数。
定理—可证明
一个排列中任意两个元素对换，改变排列奇偶性
2.n阶行列式
|a11 a12 ... a1n|
|a21 a22 ... a2n|
D = |. . . | = ∑ (-1)^t^ a1p1 a2p2 ... anpn
|. . . |
|. . . |
|an1 an2 ...ann |
t为p1p2…pn这个排列的逆序数
p1p2…pn排列个数为n!
2.1.转置行列式，记DT
以下皆可证明：
行列式与它的转置行列式相等
对换行列式的两行/两列，行列式变号
某行/列中所有元素同乘k，等于用k乘行列式
若行列式 的某行/列都是两数之和，则，可拆分为两个行列式之和
某行/列各元素乘某数后加到另一行/列，行列式值不变
利用性质来方便计算行列式的值。
2.2.行列式的展开
n阶行列式中，把(i, j)元aij所在的第i行，第j列划去后，留下来的n-1阶行列式，叫(i，j)元aij的余子式，记Mij。
Aij = (-1)i+j 叫做代数余子式。
一个n阶行列式，如其中第i行所有元素，除(i, j)元aij外都为0，那么这行列式等于
D = aijAij。
对任意行列式有
D = ai1Ai1 + ai2Ai2 + … + ainAin
或
D = a1jA1j + a2jA2j + … + anjAnj
3.矩阵及其运算
|a11 a12 ... a1n |
|a21 a22 ... a2n |
|. . . |
A = |. . . |
|. . . |
|am1 am2 ... amn |
3.1.定义
1.设有两个m*n的矩阵A=(aij)和B=(bij)，那么矩阵A与B的和记作A+B]，规定
a11+b11 a12+b12 ... a1n+b1n
a21+b21 a22+b22 ... a2n+b2n
A+B = . . .
. . .
. . .
am1+bm1 am2+bm2 amn+bmn
2.
ka11 ka12 ... ka1n
ka21 ka22 ... ka2n
kA = . . .
. . .
. . .
kam1 kam2 ... kamn
3.
A = (aij)是一个ms矩阵，B = (bij)是一个sn矩阵，规定矩阵A与矩阵B的乘积是一个m*n矩阵C=(cij)，其中
cij = ∑aij bkj [k = 1,…,s]，
记
C = AB
4.
把矩阵A的行换成同序数的列得到一个新矩阵，叫做A的转置矩阵，记作AT。
(AB)T = BTAT
5.
由n阶方阵A的元素所构成的行列式，称为方阵A的行列式，记detA。
A，B均为n阶方阵，有
|AB| = |A||B|
6.逆矩阵定义
对于n阶矩阵A，如有一个n阶矩阵B，
使AB = BA = E，
则，矩阵A是可逆的。
B称为A的逆矩阵。
定理：—可证明
6.1.逆矩阵若存在，则，唯一。
6.2.若|A|!=0，则，矩阵A可逆，且
A-1 = A* / |A|。
A*为A的伴随矩阵。
|A11 A21 ... An1|
|A12 A22 ... An2|
A^*^ = | . . . |
| . . . |
| . . . |
|A1n A2n ... Ann|
定理：
如线性方程组
a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2
…
an1x1 + an2x2 + … + annxn = bn
的系数矩阵A的行列式不等于0，即
|a11 ... a1n |
| . ... . |
|A| = | . ... . | != 0
| . ... . |
| an1 ... ann |
那么，方程组有唯一解：
x1 = |A1| / |A|
x2 = |A2| / |A|
...
xn = |An| / |A|
|a11 ... a1,j-1 b1 a1,j+1 a1n |
| . ... . . . ... |
Ai = | . ... . . . ... |
| . ... . . . ... |
| an1 ... an,j-1 bn an,j+1 ann |
7.分块矩阵及其性质
7.1.设A与B行数相同，列数相同，采用相同的分块法，有
|A11 ... A1r |
| . ... . |
A = | . ... . |
| . ... . |
|As1 ... Asr |
|B11 ... B1r|
| . ... . |
B = | . ... . |
| . ... . |
|Bs1 ... Bsr |
A+B = ...
7.2.
kA = …
7.3.
|A11 ... A1t |
| . ... . |
A = | . ... . |
| . ... . |
|As1 ... Ast |
|B11 ... B1r|
| . ... . |
B = | . ... . |
| . ... . |
|Bt1 ... Btr |
其中，
Ai1, Ai2, … , Ait 的列数等于Bij, B2j, …, Btj的行数
AB = …
7.4.
|A11 ... A1t |
| . ... . |
A = | . ... . |
| . ... . |
|As1 ... Ast |
A^T^ = ...
7.5.
|A1 O |
| A2 |
A = | . |
| . |
| . |
|O As |
|A| = |A1||A2|...|As|
若|Ai| != 0,
|A1^-1^ O |
| A2^-1^ |
A^-1^ = | . |
| . |
| . |
|O As^-1^ |
8.矩阵与线性方程组
8.1.初等变换
初等行变换
对换两行
以数k乘以一行中的所有元
把某一行所有元的k倍加到另一行对应的元上去
初等列变化
类似行变换可得
初等行变换，初等列变换统称，初等变换。
如经过若干次行变换，A变成B，称A与B行等价。
若经过若干次列变换，A变成B，称A与B列等价。
经过有限次初等变换，A变成B，称A与B等价。
8.2.行阶梯，行最简矩阵
行阶梯矩阵
非零行在零行上面
非零行的首非零元所在列在上一行的首非零元所在列的右边
行最简矩阵
行阶梯矩阵
非零行的首非零元为1
首非零元所在的列的其它元均为0
8.3.定理及性质
定理—可证明
设A与B为m*n矩阵，则
A行等价与B的充分必要条件是 存在m阶可逆矩阵P，使PA = B。
A列等价与B的充分必要条件是 存在n阶可逆矩阵Q，使AQ = B。
A等价与B的充分必要条件是 存在m阶可逆矩阵P，n阶可逆矩阵Q，使PAQ = B。
定义：
由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。
性质：
1.A是一个mn初等矩阵，对A施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘相应的m阶初等矩阵，对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的阶初等矩阵。
2.方阵A可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵P1， P2，… , Pk，使：
A = P1P2…Pk。
3.方阵A可逆的充分必要条件是 A行等价与B。
应用：
A E 通过行变换变化为 E X时，X即是A-1
8.4.矩阵的秩
定义：
在m*n矩阵A中，任取k行与k列(k<=min(m, n))，位于这些行列交叉处的k2 个元素，不改变它们在A中所处的位置次序而得到的k阶行列式，称为矩阵A的k阶子式。
定理：
设A行等价与B，则，A与B中非0子式最高阶数相同。
定义：
设在矩阵A中有个你等于0的r阶子式D，且所有r+1阶子式全等于0，那么D称为矩阵A的最高阶非0子式，数r称为矩阵A的秩，记作R(A)。
定理：
若A等价与B，则R(A) = R(B)。
若可逆矩阵P，Q，使PAQ = B，则R(A) = R(B)。
矩阵秩的性质：
max{R(A), R(B)} <= R(A, B) <= R(A) + R(B)
R(A+B) <= R(A) + R(B)
R(AB) <= min{R(A), R(B)}
若AmnBnl = O，则R(A) + R(B) <= n
8.5.线性方程组的解
定理：
n元线性方程组Ax = b
无解的充分必要条件是R(A) < R(A, b)
有唯一解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) = n
有无限多解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) < n
矩阵方程AX=B有解的充分必要条件是 R(A) = R(A,B)
设AB=C，则R©<=min(R(A), R(B))
9.向量组的线性相关性
定义：
给定向量组A:a1, a2, …, am，对于任何一组实数k1, k2, …, km，表达式
k1a1 + k2a2 + … +kmam称为向量组A的一个线性组合，k1, k2, …, km称为这个线性组合的系数。
给定向量组A:a1, a2, …, am和向量b，如果存在一组数k1, k2, …, km，使
b = k1a1 + k2a2 + … + kmam，则称，向量b能由向量组A线性表示。
定义：
设有两个向量组，A:a1, a2, …, am及B:b1, b2, …, bk，若B组中的每个向量都能由向量组A线性表示，则，称向量组B能由向量组A线性表示。若向量组A与向量组B能相互线性表示，则，称这两个向量组等价。
定理：
向量组B：b1, b2, …, bk 能由向量组A:a1, a2, …, am线性表示的 充分必要条件是矩阵A=(a1, a2, …, am)的秩等于矩阵(A, B) = (a1, a2, …, am, b1, b2, …, bk)的秩，即R(A) = R(A, B)。
向量组A，向量组B等价的充分必要条件是R(A)=R(B)=R(A, B)
设m*n矩阵A的秩R(A)=r,则n元齐次线性方程组Ax=0的解集S的秩R‘ = n-r。
非齐次线性方程解的结构：
对应齐次方程的通解 + 非齐次方程的一个特解。
10.向量空间
定义：
V为n维向量的集合，如V非空，且集合V对于向量的加法及数乘两种运算封闭，称集合V为向量空间。
设设V为向量空间，如r个向量，a1,a2,…,ar属于V，且满足
a1, a2, …, ar线性无关
V中任何一向量都可由a1,a2,…,ar线性表示
称，a1,a2,…,ar为向量空间V的一个基，r称V的维数，V称为r维向量空间。
V中任一向量由基，表示为
k1a1 + k2a2 + … + krar = x
k1,k2,…,kr称为向量x在基中的坐标
11.相似矩阵及二次型
设n维向量，
x = (x1, x2, …, xn)T
y = (y1, y2, …, yn)T
令[x, y] =x1y1 + x2y2 + … + xnyn
称为x与y的内积
定理—不证明
[x, y]2 = [x, x][y, y]
令
||x|| = sqrt([x, x])
||x||称为n维向量x的长度
del = [x, y] /(||x||*||y||)称x与y夹角，x!=0, y!=0
定理—可证明
若n维度向量a1, a2, …, ar是一组两两相交的非零向量，则a1,a2,…,ar线性无关。
定义：
n维向量e1,e2,…,er是向量空间V的一个基，如e1,e2,…,er两两正交且均为单位向量，则，e1,e2,…,er是V的一个标准正交基。
设a1,a2,…,ar是向量空间V的一个基，以下可将其单位正交化
b1 = a1,
b2 = a2 - b1 * [b1, a2] / [b1, b1]
…
br = ar - b1 * [b1, ar] / [b1, b1] - b2 * [b2, ar] / [b2, b2] - … - - b(r-1) * [b(r-1), ar] / [b(r-1), b(r-1)]
定义：
如n阶矩阵A满足，
ATA = E
称A为正交矩阵。A的列向量都是单位向量且两两正交。
设P为正交矩阵，则线性变换y=Px称为正交变换。
定义：
设A为n阶矩阵，如k和n维非0列向量x使关系式
Ax = kx成立，
则，k称为A的特征值。x称为A对应于特征值的特征向量。
以下可证明：
设n阶矩阵A的特征值为k1, k2, …, kn则，
k1+k2+…+kn = a11+a22+…+ann
k1k2…kn = |A|
定义：
对特征值ki，求得对应解x=pi，则pi是A对应于特征值ki的特征向量。
ki为实数，pi可取实向量。
ki为复数，pi可取复向量。
定理—可证明
设k1,k2,…km是方阵A的个特征值，p1,p2,…,pm依次是与之对应的特征向量，如k1,k2,…,km各不相等，则p1,p2,…,pm线性无关。
可证明：
设k1, k2是方阵A的两个不同特征值，p1,p2,…,ps和q1,q2,…,qt分别是对应与k1,k2的线性无关的特征向量，则p1,p2,…,ps,q1,q2,…,qt线性无关。
定义：
设A，B都是n阶矩阵，若有可逆矩阵P，使
P-1AP = B
则称A与B相似。
P-1AP称为对A进行相似变换。
定理—可证明
若n阶矩阵A与B相似，则A与B的特征多项式相同，从而A与B的特征值相同。
若n阶矩阵A与对角矩阵相似，则，k1,k2,…,kn即是A的n个特征值。
定理：
n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。
如n阶矩阵A的n个特征值互不相等，则A与对角矩阵相似。
一个n阶矩阵什么条件才能对角化，是一个较复杂问题，下面仅讨论A为对称矩阵的情形。
对称矩阵
1.对称矩阵的特征值为实数。
2.设k1,k2是对称矩阵A的两个特征值，p1,p2是对应的特征向量，若k1!=k2，则p1与p2正交。
3.设A为n阶对称矩阵，则必有正交矩阵P，使P-1AP = PTAP=对角矩阵。
其中对角矩阵以A的n个特征值为对角元。—未做证明
4.A为n阶对称矩阵，t是A的特征方程的k重根，则，矩阵A-kE的秩R(A-kE)=n-k,从而对应特征值t恰有k个线性无关的特征向量。
对称矩阵A对角化的步骤：
1.求出A的全部特征值。
2.对每个特征值，求出和其重数一致的特征向量，并将其单位正交化
3.组合n个单位正交特征向量构成矩阵P
12.二次型及其标准型
含有n个变量x1,x2,…,xn的二次齐次函数
f(x1, x2, …, xn) = a11x12+a22x22+…+annxn2 + 2a12x1x2 + 2a13x1x3 +…+ 2a(n-1)nx(n-1)xn
称为二次型。
对二次型，寻求可逆的线性变换使其只含平方项。
只含平方项的二次型，称为二次型的标准型。
如果标准型的系数k1,k2,…,kn只在1，-1，0三个数中取值，则称为二次型的规范型。
当aij为复数时，称为复二次型。
aij为实数时，称为实二次型。
|a11 a12 … a1n | |x1 |
|a21 a22 … a2n | |x2 |
f(x1,x2,…,xn) =(x1,x2,…,xn) | . . . | | . |
| . . . | | . |
|an1 an2 … ann | |xn |
二次行和对称矩阵存在一一对应关系。
设A和B是n阶矩阵，若有可逆矩阵，使B=CTAC，称A与B合同。
定理：
任给二次型总有正交变换x=Py，使f化为标准型。
f=k1y12+k2y22+…+knyn2
其中k1,k2,…,kn是f的矩阵A的特征值。
定理：----未证明
设二次型f=xTAx的秩为r，且有两个可逆变换
x=Cy 及 x=Pz
使
f=k1y12+k2y22+…+kryr2 (ki!=0)
及
f=t1z12+t2z22+…+trzr2 (ti!=0)
则k1,…,kr中正数的个数与t1,…,tr中正数的个数相等。
定理：未证明
对称矩阵A为正定的充分必要条件是：
A的各阶主子式都为正，对称矩阵A为负定的充分必要条件是：奇数阶主子式为负，而偶数阶主子式为正。
