【Codeforces 956D】Contact ATC 题解

这场比赛我没现场打，只是闲得没事就Virtual Participate了一发。我怎么又开始随便找题做了？（雾

一看前3题都是普及组难度，我激动极了，哗啦哗啦全写完了（但是第3题还wa了一次，调了半天，可能我还是太弱了）。

看到了 $D$ 题，也就是这一题，总觉得不怎么难，但就是没有思路。在快结束时我终于想出了方法并且交了一发wa。结束后才发现我把分数判断大小时分母为负符号取反给忘了QAQ，蒟蒻不想活了。。。

但是怎么能因为一道题没过就不活了呢？我们还是得保持乐观的。好了，言归正传，我来讲讲我的思路。

我们会发现，只有当两架飞机的速度与离原点的距离形成的比例相同时，它们才会在原点相遇，可是不幸的是，速度不是一定的，甚至有无穷大种可能。

那怎么做呢？由于风速区间为 $[-w,w]$ ，我们从一个端点 $-w$ 做起，也就是让所有飞机的速度减 $w$ ，算出每架飞机的比例等于 $-\frac{v-w}{x}$ ，按这个值从小到大排个序，这时开始同时给速度增加相同的量，我们会发现，两架飞机的算出来的值的大小变化是单调的，要不就差得越来越远，要不就越来越近甚至小的超过大的，那么当我们把速度变为 $v+w$ 时，只要原来第一架比另第二架小，最后第一架比第二架大，那么中途一定会遇到相等的情况，也就是说会在原点相遇。

总的来说，就是把飞机先按 $-\frac{v-w}{x}$ 排个序，记录下顺序，再按 $-\frac{v+w}{x}$ 排个序，记录下位置。在第一种顺序下从头到尾跑一遍，用树状数组修改查询得到每架飞机与之前多少架飞机在原点相遇，最后加起来就是答案。

注意一开始的值相等要放在一起算，排序时分母为负大小关系要取反！！！

复杂度为 $\Theta(nlog_2n)$ 。全部代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n,w;
int x[100010],v[100010];
int s1[100010],s2[100010];
int p[100010];
bool cmp1(int a,int b)
{
    if(1LL*x[a]*x[b]>0)return (-1LL*(v[a]-w)*x[b])<(-1LL*(v[b]-w)*x[a]);
    return (-1LL*(v[a]-w)*x[b])>(-1LL*(v[b]-w)*x[a]);
}
bool cmp2(int a,int b)
{
    if(1LL*x[a]*x[b]>0)return (-1LL*(v[a]+w)*x[b])>(-1LL*(v[b]+w)*x[a]);
    return (-1LL*(v[a]+w)*x[b])<(-1LL*(v[b]+w)*x[a]);
}
bool eq1(int a,int b)
{
    return (-1LL*(v[a]-w)*x[b])==(-1LL*(v[b]-w)*x[a]);
}
bool eq2(int a,int b)
{
    return (-1LL*(v[a]+w)*x[b])==(-1LL*(v[b]+w)*x[a]);
}
int sum[100010];
void add(int x,int v)
{
    for(int i=x;i<=n;i+=i&-i)sum[i]+=v;
}
int query(int x)
{
    int res=0;
    for(int i=x;i;i-=i&-i)res+=sum[i];
    return res;
}
long long ans;
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&w);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d%d",x+i,v+i);
        s1[i]=s2[i]=i;
    }
    sort(s1+1,s1+n+1,cmp1);
    sort(s2+1,s2+n+1,cmp2);
    int cur=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(i>1 && !eq2(s2[i-1],s2[i]))cur++;
        p[s2[i]]=cur;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int j=i;
        while(j<=n && eq1(s1[i],s1[j]))j++;
        j--;
        for(int k=i;k<=j;k++)ans+=query(p[s1[k]]);
        ans+=1LL*(j+1-i)*(j-i)/2;
        for(int k=i;k<=j;k++)add(p[s1[k]],1);
        i=j;
    }
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}

【Codeforces 956D】Contact ATC 题解

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