Codeforces 988D 题解

<988D>

题意：

给定若干个数，问在其中挑选几个数组成一个集合，使得集合中任意以两个数a, b（a > b）的差值均为2^n。

思路：

这题要先找规律，这个规律就是，集合中的元素最多有3个，证明如下：

假设集合内目前只有三个元素：x，y，z 且 x < y < z

则根据题意，有如下关系：

z - y = 2^a (1)

y - x = 2^b (2)

z - x = 2^c (3)

所以由 (1)式 + (2)式，再与 (3)式联立，得 z - x = 2^a + 2^b = 2^c，由此可得，当且仅当

2^c = 2 * 2^b = 2 * 2^a 时上述等式成立，即 a = b = c - 1;

所以由 a = b, 得 2^a = 2^b，即 z - y = y - x，所以 x，y，z构成等差数列，

由上可知，当集合中有四个元素的时候，x < y < z < k 时，显然就不成立了，因为你要满足从中挑出的任意三个元素满足等差数列，比如 <x, y, k> 或 <x, z, k>时就不成立了，因为x, y, z, k满足等差数列，且公差不能为0，所以它的三元组子集就未必满足构成等差这个条件了。

找到这个规律以后就好办了，存进集合set中，然后在1~2e9中枚举2^n，再加到集合元素a[i]上，看有几个在集合中即可，如果够不成等差数列，即只有一个元素的时候，那就输出a[1]就好了。

本人AC代码：

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <set>
#include <map>
#include <queue>
#include <vector>
#include <string>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 2e5 + 7;
map <int, int> mp;
vector <int> vec;
queue <int> qua;
set <ll> sst;
int n;
ll a[maxn];

int main() {
	cin >> n;
	for(int i = 1; i <= n; i++) {
		cin >> a[i];
		sst.insert(a[i]);
	}
	for(int i = 1; i <= n; i++) {
		for(ll j = 1; j <= 2e9; j *= 2) {
			if(sst.count(a[i] + j) && sst.count(a[i] + 2 * j)) {
				puts("3");
				printf("%I64d %I64d %I64d\n", a[i], a[i] + j, a[i] + 2 * j);
				return 0;
			}
		}
	}
	for(int i = 1; i <= n; i++) {
		for(ll j = 1; j <= 2e9; j *= 2) {
			if(sst.count(a[i] + j)) {
				puts("2");
				printf("%I64d %I64d\n", a[i], a[i] + j);
				return 0;
			}
		}
	}
	puts("1");
	cout << a[1] << endl;
}