Codeforces 518D Ilya and Escalator 题解

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题意简述

$n(<=2000)$个人上电梯。每一秒，队列的第一个人都有 $p$（每个时刻都是 $p$，不会变, $0<=p<=1$）的概率上电梯。请求出 $t(<=2000)$秒时电梯上人数的期望值。

思路框架

dp[i][j]表示第 $i$时刻有 $j$个人在电梯上的概率。最后用概率乘以数值求出期望（根据定义）。

具体思路

老样子，分两块

Part1. 设状态

首先 $dp$里面肯定有一维时间，这毫无疑问。然后我们发现，

1. n,t只有2000，肯定不是让你线性过的，又不是A题
2. 只有一维时间好像也无法转移
   所以考虑加上一维人数。粗略估计珂以转移。

Part2. 转移

$dp[i][j]$：时间为 $i$，电梯上有 $j$个人的概率。

$dp[i][j]=dp[i-1][j-1]\times p+dp[i-1][j]\times (1-p)$。其中 $p$是上来一个人的概率， $1-p$是没上来人的概率。这个式子看起来很正确。但是我们考虑几个特殊情况

1. j=0。这个的确需要考虑。而且这个时候j-1=-1，直接访问会RE。但是也不是不能转移，方程应该是dp[i][0]=dp[i-1][0]×(1-p)。也就是，我们要电梯上有0个人，那就要一直不上来，也就是一直乘以1-p。当然你也珂以认为它是(1-p)^i。
2. j=n。如果上一秒已经到 $n$个人了，这个时候队列已经空了。无论发生什么都还是 $n$个人。所以 $dp[i][n]=dp[i-1][n-1]\times p+dp[i-1][n]$。

特判一下转移即珂。边界很显然， $dp[0][0]=1.00$

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
namespace Flandre_Scarlet
{
    #define N 2333
    #define real double
    #define F(i,l,r) for(int i=l;i<=r;++i)
    #define D(i,r,l) for(int i=r;i>=l;--i)
    #define Fs(i,l,r,c) for(int i=l;i<=r;c)
    #define Ds(i,r,l,c) for(int i=r;i>=l;c)
    #define Tra(i,u) for(int i=G.Start(u),__v=G.To(i);~i;i=G.Next(i),__v=G.To(i))
    #define MEM(x,a) memset(x,a,sizeof(x))
    #define FK(x) MEM(x,0)

    int n,t;real p;
    void Input()
    {
        scanf("%d%lf%d",&n,&p,&t);
    }

    real dp[N][N];
    void Soviet()
    {
        FK(dp);
        dp[0][0]=1.00;
        F(i,1,t)
        {
            F(j,0,n)
            {
                if (j==0) dp[i][j]=dp[i-1][j]*(1-p);
                else if (j==n) dp[i][j]=dp[i-1][j-1]*p+dp[i-1][j];
                else dp[i][j]=dp[i-1][j-1]*p+dp[i-1][j]*(1-p);

                // printf("dp[%d][%d]=%.3f\n",i,j,dp[i][j]);
            }
        }
        real ans=0.00;
        F(i,1,n) ans+=dp[t][i]*i;
        printf("%.6f\n",ans);
    }

    #define Flan void
    Flan IsMyWife()
    {
        Input();
        Soviet();
    }
}
int main()
{
    Flandre_Scarlet::IsMyWife();
    getchar();getchar();
    return 0;
}