关于最小割问题的一点思考
再次明确定义
流网络定义在有向图上。无向图拆成有向图。然而不拆也可以。
最小割是一个边集\((S,T)\),将点分成 \(S,T=V-S\) 两个集合
最小割的容量\(c(S,T) = \sum_{u \in S} \sum_{v \in T} c(u,v)\)
所以删去割集中所有边后，从s到t不连通。最大流后割集上的边(从s到t方向)满流。
（从t到s不一定。）
最小割的唯一性
最大流后的残量网络中，满流的边不一定是割边，割边一定满流
最小割的容量是割边的容量和，等于最大流的流量
最小割唯一意味着点集唯一
唯一性判定：
当存在强连通分量(可能只是一个点) \(u\)，满足在残量网络上没有s到u和u到t的路径，那么u可以分配到\(S\)或\(T\)中，最小割不唯一。
所以就是从s开始bfs，再从t倒着bfs(看反向边流量)
一个典型的栗子：
1 2 1
2 3 1
2 3 1
3 4 1
求scc的判定方法：
判断某条边是否可以在割集中，是否必定在割集中
求出scc后再判定
可以发现，求scc后，scc之间连的单向边是因为有一个方向满流(有向图的话，默认反向弧满流)
jcvb：
在残余网络上跑tarjan求出所有SCC，记id[u]为点u所在SCC的编号。显然有id[s]!=id[t]（否则s到t有通路，能继续增广）。
- 对于任意一条满流边(u,v)，(u,v)能够出现在某个最小割集中，当且仅当id[u]!=id[v]；
- 对于任意一条满流边(u,v)，(u,v)必定出现在最小割集中，当且仅当id[u] == id[s]且id[v] == id[t]。
证明：
①
<==将每个SCC缩成一个点，得到的新图就只含有满流边了。那么新图的任一s-t割都对应原图的某个最小割，从中任取一个把id[u]和id[v]割开的割即可证明。
②
<==：假设将(u,v)的边权增大，那么残余网络中会出现s->u->v->t的通路，从而能继续增广，于是最大流流量（也就是最小割容量）会增大。这即说明(u,v)是最小割集中必须出现的边。
PS:无向图
反向弧容量为c，无需加两次
也可以加两次QwQ
两个模板
//zoj2587
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N = 1005, M = 20005, inf = 1e9;
int n, m, s, t;
struct edge {int v, ne, c, f;} e[M];
int cnt = 1, h[N];
inline void ins(int u, int v, int c) {
e[++cnt] = (edge) {v, h[u], c, 0}; h[u] = cnt;
e[++cnt] = (edge) {u, h[v], c, 0}; h[v] = cnt;
}
int cur[N], vis[N], d[N], head, tail, q[N];
bool bfs() {
memset(vis, 0, sizeof(vis));
head = tail = 1;
q[tail++] = s; d[s] = 0; vis[s] = 1;
while(head != tail) {
int u = q[head++];
for(int i=h[u]; i; i=e[i].ne) {
int v = e[i].v;
if(!vis[v] && e[i].c > e[i].f) {
vis[v] = 1;
d[v] = d[u] + 1;
q[tail++] = v;
if(v == t) return true;
}
}
}
return false;
}
int dfs(int u, int a) { //printf("dfs %d %d\n", u, a);
if(u==t || a==0) return a;
int flow = 0, f;
for(int &i=cur[u]; i; i=e[i].ne) {
int v = e[i].v;
if(d[v] == d[u]+1 && (f = dfs(v, min(a, e[i].c-e[i].f))) > 0) {
flow += f;
e[i].f += f;
e[i^1].f -= f;
a -= f;
if(a == 0) break;
}
}
if(a) d[u] = -1;
return flow;
}
int dinic() {
int flow = 0;
while(bfs()) {
for(int i=1; i<=n; i++) cur[i] = h[i];
flow += dfs(s, inf);
}
return flow;
}
int bfs2(int s) {
int ans = 1;
memset(vis, 0, sizeof(vis));
head = tail = 1;
q[tail++] = s; vis[s] = 1;
while(head != tail) {
int u = q[head++];
for(int i=h[u]; i; i=e[i].ne) {
int v = e[i].v;
if(vis[v] || e[i].c==e[i].f) continue;
vis[v] = 1;
ans++;
q[tail++] = v;
}
}
return ans;
}
int bfs3(int s) {
int ans = 1;
memset(vis, 0, sizeof(vis));
head = tail = 1;
q[tail++] = s; vis[s] = 1;
while(head != tail) {
int u = q[head++];
for(int i=h[u]; i; i=e[i].ne) {
int v = e[i].v;
if(vis[v] || e[i^1].c==e[i^1].f) continue;
vis[v] = 1;
ans++;
q[tail++] = v;
}
}
return ans;
}
int main() {
freopen("in", "r", stdin);
ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(); cout.tie();
while(true) {
cin >> n >> m >> s >> t;
if(n == 0) break;
cnt = 1;
memset(h, 0, sizeof(h));
for(int i=1; i<=m; i++) {
int u, v, c;
cin >> u >> v >> c;
ins(u, v, c);
}
dinic();
int cnt1 = bfs2(s), cnt2 = bfs3(t);
if(cnt1 + cnt2 < n) cout << "AMBIGUOUS" << endl;
else cout << "UNIQUE" << endl;
}
}//[AHOI2009]最小割
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N = 4005, M = 6e4+5, inf = 1e9;
int n, m, s, t;
struct edge {int u, v, ne, c, f;} e[M<<1];
int cnt=1, h[N];
inline void ins(int u, int v, int c) {
e[++cnt] = (edge) {u, v, h[u], c, 0}; h[u] = cnt;
e[++cnt] = (edge) {v, u, h[v], 0, 0}; h[v] = cnt;
}
int cur[N], vis[N], d[N], head, tail, q[N];
bool bfs() {
memset(vis, 0, sizeof(vis));
head = tail = 1;
q[tail++] = s; d[s] = 0; vis[s] = 1;
while(head != tail) {
int u = q[head++];
for(int i=h[u]; i; i=e[i].ne) {
int v = e[i].v;
if(!vis[v] && e[i].c > e[i].f) {
vis[v] = 1;
d[v] = d[u]+1;
q[tail++] = v;
if(v == t) return true;
}
}
}
return false;
}
int dfs(int u, int a) {
if(u==t || a==0) return a;
int flow = 0, f;
for(int &i=cur[u]; i; i=e[i].ne) {
int v = e[i].v;
if(d[v] == d[u]+1 && (f = dfs(v, min(a, e[i].c-e[i].f))) > 0) {
flow += f;
e[i].f += f;
e[i^1].f -= f;
a -= f;
if(a == 0) break;
}
}
if(a) d[u] = -1;
return flow;
}
int dinic() {
int flow = 0;
while(bfs()) {
for(int i=1; i<=n; i++) cur[i] = h[i];
flow += dfs(s, inf);
}
return flow;
}
int dfn[N], low[N], dfc, scc, belong[N], st[N], top;
void dfs(int u) {
dfn[u] = low[u] = ++dfc;
st[++top] = u;
for(int i=h[u]; i; i=e[i].ne) if(e[i].c > e[i].f) {
int v = e[i].v;
if(!dfn[v]) {
dfs(v);
low[u] = min(low[u], low[v]);
} else if(!belong[v])
low[u] = min(low[u], dfn[v]);
}
if(low[u] == dfn[u]) {
scc++;
while(true) {
int x = st[top--];
belong[x] = scc;
if(x == u) break;
}
}
}
int main() {
freopen("in", "r", stdin);
ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(); cout.tie();
cin >> n >> m >> s >> t;
for(int i=1; i<=m; i++) {
int u, v, c;
cin >> u >> v >> c;
ins(u, v, c);
}
dinic();
for(int i=1; i<=n; i++) if(!dfn[i]) dfs(i);
//for(int i=1; i<=n; i++) printf("dfn %d %d %d\n", i, dfn[i], belong[i]);
int a = belong[s], b = belong[t];
for(int i=1; i<=m; i++) {
int u = e[i<<1].u, v = e[i<<1].v;
if(e[i<<1].c == e[i<<1].f && belong[u] != belong[v]) cout << 1 << ' ';
else cout << 0 << ' ';
if(e[i<<1].c == e[i<<1].f && belong[u] == a && belong[v] == b) cout << 1 << '\n';
else cout << 0 << '\n';
}
}